06- Chama-se cone equilátero o cone reto cuja geratriz mede o dobro da medida do raio da base. Sabendo que o raio da base de um cone equilátero mede 2 cm, obtenha:

a) A área da base (B) : B = πr²

b) A medida da altura do cone (h) : h = r√3

c) A área lateral (Al) : Al = πrg

d) A área total (At) : At = πr² + Al

e) O volume (V) : V = √3/3 . r² . h

Question

06- Chama-se cone equilátero o cone reto cuja geratriz mede o dobro da medida do raio da base. Sabendo que o raio da base de um cone equilátero mede 2 cm, obtenha:

a) A área da base (B) : B = πr²

b) A medida da altura do cone (h) : h = r√3

c) A área lateral (Al) : Al = πrg

d) A área total (At) : At = πr² + Al

e) O volume (V) : V = √3/3 . r² . h

Accepted Answer

Vamos resolver cada item baseado nas informações fornecidas:

1. **Informações dadas:**
   - O raio da base ($r$) do cone equilátero é 2 cm.
   - Em um cone equilátero, a geratriz ($g$) mede o dobro do raio da base, ou seja, $g = 2r$.

2. **Cálculos:**

a) **A área da base (B):**
   $$
   B = \pi r^2
   $$
   Substituindo $r = 2$:
   $$
   B = \pi (2)^2 = 4\pi
   $$

b) **A medida da altura do cone (h):**
   Em um cone equilátero, a altura $h$ pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, o raio e a geratriz:
   $$
   g^2 = r^2 + h^2
   $$
   Como $g = 2r$, temos:
   $$
   (2r)^2 = r^2 + h^2 \implies 4r^2 = r^2 + h^2 \implies 3r^2 = h^2 \implies h = r\sqrt{3}
   $$
   Substituindo $r = 2$:
   $$
   h = 2\sqrt{3}
   $$

c) **A área lateral (Al):**
   $$
   Al = \pi rg
   $$
   Substituindo $r = 2$ e $g = 2r = 4$:
   $$
   Al = \pi (2)(4) = 8\pi
   $$

d) **A área total (At):**
   $$
   At = B + Al = \pi r^2 + \pi rg
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   At = 4\pi + 8\pi = 12\pi
   $$

e) **O volume (V):**
   $$
   V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
   $$
   Substituindo $r = 2$ e $h = 2\sqrt{3}$:
   $$
   V = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (4)(2\sqrt{3}) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \pi
   $$

Portanto, as respostas são:

a) $ B = 4\pi $

b) $ h = 2\sqrt{3} $

c) $ Al = 8\pi $

d) $ At = 12\pi $

e) $ V = \frac{8\sqrt{3}}{3} \pi $

06- Chama-se cone equilátero o cone reto cuja geratriz mede ...

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