07. Numa PA crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Determine o 1° termo a1 e a razão r dessa PA. (2,0 pontos)

Para resolver o problema, vamos usar as fórmulas dos termos de uma progressão aritmética (PA).

Os termos gerais de uma PA são dados por:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Onde $a_n$ é o termo geral, $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.

Dado que:

1. $a_2 + a_6 = 20$
2. $a_4 + a_9 = 35$

Podemos reescrever os termos usando a fórmula do termo geral:

$$a_2 = a_1 + r$$ $$a_6 = a_1 + 5r$$

Então, a primeira equação fica:

$$(a_1 + r) + (a_1 + 5r) = 20$$ $$2a_1 + 6r = 20$$ $$a_1 + 3r = 10 \quad \text{(equação 1)}$$

Agora, para a segunda equação:

$$a_4 = a_1 + 3r$$ $$a_9 = a_1 + 8r$$

Então, a segunda equação fica:

$$(a_1 + 3r) + (a_1 + 8r) = 35$$ $$2a_1 + 11r = 35 \quad \text{(equação 2)}$$

Agora, vamos resolver o sistema de equações:

1. $a_1 + 3r = 10$
2. $2a_1 + 11r = 35$

Multiplicando a equação 1 por 2:

$$2a_1 + 6r = 20$$

Subtraindo da equação 2:

$$(2a_1 + 11r) - (2a_1 + 6r) = 35 - 20$$ $$5r = 15$$ $$r = 3$$

Substituindo $r = 3$ na equação 1:

$$a_1 + 3 \cdot 3 = 10$$ $$a_1 + 9 = 10$$ $$a_1 = 1$$

Portanto, o primeiro termo $a_1$ é 1 e a razão $r$ é 3.