07- Seja A =

[ 0 1 0 2 ]
[ 1 3 1 4 ]
[ 0 1 0 5 ]
[ 1 0 3 1 ]

a) Determine: A₁₂ e A₁₄.
b) Calcule o valor dos cofatores A₁₂ e A₁₄.

Question

07- Seja A =

[ 0  1  0  2 ]
[ 1  3  1  4 ]
[ 0  1  0  5 ]
[ 1  0  3  1 ]

a) Determine: A₁₂ e A₁₄.
b) Calcule o valor dos cofatores A₁₂ e A₁₄.

Accepted Answer

### Resolução:

A matriz $ A $ é dada por:

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 2 \
1 & 3 & 1 & 4 \
0 & 1 & 0 & 5 \
1 & 0 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$

#### (a) Determinar $ A_{12} $ e $ A_{14} $:

Os **elementos $ A_{ij} $** representam os menores complementares da matriz $ A $, ou seja, são os determinantes das submatrizes obtidas ao excluir a linha $ i $ e coluna $ j $.

- Para $ A_{12} $: Excluímos a **linha 1** e a **coluna 2**.
$$
\text{Submatriz de } A_{12} =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 4 \
0 & 0 & 5 \
1 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$
O determinante desta submatriz é calculado como:
$$
\det =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 4 \
0 & 0 & 5 \
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}.
$$

Expandindo pela segunda linha:
$$
\det = 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
0 & 5 \
3 & 1
\end{vmatrix}
- 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
0 & 5 \
1 & 1
\end{vmatrix}
+ 4 \cdot 
\begin{vmatrix}
0 & 0 \
1 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Calculando cada parte:
$$
\begin{vmatrix}
0 & 5 \
3 & 1
\end{vmatrix} = (0)(1) - (5)(3) = -15,
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 5 \
1 & 1
\end{vmatrix} = (0)(1) - (5)(1) = -5,
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 0 \
1 & 3
\end{vmatrix} = (0)(3) - (0)(1) = 0.
$$

Substituindo:
$$
\det = 1(-15) - 1(-5) + 4(0) = -15 + 5 + 0 = -10.
$$

Portanto, $ A_{12} = -10 $.

---

- Para $ A_{14} $: Excluímos a **linha 1** e a **coluna 4**.
$$
\text{Submatriz de } A_{14} =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 3
\end{bmatrix}.
$$

O determinante desta submatriz é:
$$
\det =
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Expandindo pela primeira linha:
$$
\det = 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
1 & 0 \
0 & 3
\end{vmatrix}
- 3 \cdot 
\begin{vmatrix}
0 & 0 \
1 & 3
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
0 & 1 \
1 & 0
\end{vmatrix}.
$$

Calculando cada parte:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 \
0 & 3
\end{vmatrix} = (1)(3) - (0)(0) = 3,
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 0 \
1 & 3
\end{vmatrix} = (0)(3) - (0)(1) = 0,
$$
$$
\begin{vmatrix}
0 & 1 \
1 & 0
\end{vmatrix} = (0)(0) - (1)(1) = -1.
$$

Substituindo:
$$
\det = 1(3) - 3(0) + 1(-1) = 3 + 0 - 1 = 2.
$$

Portanto, $ A_{14} = 2 $.

---

#### (b) Calcular os cofatores $ A_{12} $ e $ A_{14} $:

O cofator $ C_{ij} $ é dado por:
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot A_{ij}.
$$

- Para $ C_{12} $:
$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot A_{12} = (-1)^3 \cdot (-10) = -(-10) = 10.
$$

- Para $ C_{14} $:
$$
C_{14} = (-1)^{1+4} \cdot A_{14} = (-1)^5 \cdot 2 = -2.
$$

---

### Resumo:

- **$ A_{12} = -10 $, $ A_{14} = 2 $.**
- **Cofatores: $ C_{12} = 10 $, $ C_{14} = -2 $.**

07- Seja A = [ 0 1 0 2 ] [ 1 3 1 4 ] [ 0 1 0 5 ] [ 1 0 3 1 ] a) Determine: A₁₂ e A₁₄. b) Calcule o valor dos cofatores A₁₂ e A₁₄.