07. (UEG-GO) Um processo de produção é modelado pela seguinte função $ f(t)=-a t^{2}+160 a t $, em que $ t $ é a temperatura do processo em graus Celsius e a é uma constante positiva. Para que se atinja o máximo da produção, a temperatura deve ser
A) $ -40^{\circ} \mathrm{C} $.
B) $ -80^{\circ} \mathrm{C} $.
C) $ 0^{\circ} \mathrm{C} $.
D) $ 40^{\circ} \mathrm{C} $.
E) $ 80^{\circ} \mathrm{C} $.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a temperatura que maximiza a produção, precisamos encontrar o valor de $ t $ que maximiza a função $ f(t) = -at^2 + 160at $. Como essa é uma função quadrática, seu ponto máximo pode ser encontrado utilizando as propriedades das parábolas ou derivando a função e igualando a zero para encontrar o ponto crítico.

A função é dada por:
$$ f(t) = -at^2 + 160at $$

Derivando $ f(t) $ em relação a $ t $, temos:
$$ f'(t) = -2at + 160a $$

Para encontrar o ponto de máximo, igualamos a derivada a zero:
$$ -2at + 160a = 0 $$

Resolvendo para $ t $:
$$ -2at = -160a $$
$$ t = \frac{-160a}{-2a} $$
$$ t = \frac{160}{2} $$
$$ t = 80^{\circ}C $$

Portanto, a temperatura que maximiza a produção é $ 80^{\circ}C $, o que corresponde à alternativa (E).

07. (UEG-GO) Um processo de produção é modelado pela seguint...

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