1) As temperaturas em $ (\mathrm{K}) $, em regime estacionário em três pontos nodais de uma longa barra retangular são fornecidas na figura abaixo. A barra experimenta uma taxa de geração volumétrica de calor uniforme igual a $ 5 \times 10^{7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} $ e possui uma condutividade térmica de $ 20 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) $. Dois de seus lados estão mantidos a uma temperatura constante de $ 300 \mathrm{~K} $, enquanto os demais se encontram isolados.

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema de condução de calor em regime estacionário, vamos usar a equação de condução de calor bidimensional com geração de calor uniforme. A equação diferencial governante é:

$$
k \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right) + q = 0
$$

onde:
- $ k $ é a condutividade térmica ($ 20 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) $),
- $ q $ é a taxa de geração volumétrica de calor ($ 5 \times 10^{7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} $).

Vamos considerar que temos uma barra retangular com dimensões $ L_x $ e $ L_y $, e que as temperaturas nos pontos nodais são fornecidas. Suponhamos que os pontos nodais sejam $ (x_1, y_1) $, $ (x_2, y_2) $ e $ (x_3, y_3) $, com temperaturas $ T_1 $, $ T_2 $ e $ T_3 $ respectivamente.

Para simplificar, vamos assumir que os pontos nodais estão distribuídos de forma simétrica e que os lados isolados não contribuem para a troca de calor. Portanto, podemos usar a média aritmética para encontrar a temperatura média na barra.

A equação de condução de calor em coordenadas cartesianas bidimensionais com geração de calor uniforme é:

$$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -\frac{q}{k}
$$

Para um regime estacionário, a solução geral para a temperatura $ T(x, y) $ pode ser expressa como:

$$
T(x, y) = \frac{q}{2k} (x^2 + y^2) + C_1 x + C_2 y + C_3
$$

onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes de integração que podem ser determinadas usando as condições de contorno.

Dado que dois lados da barra estão mantidos a uma temperatura constante de $ 300 \mathrm{~K} $ e os outros dois lados são isolados, podemos usar essas condições de contorno para determinar as constantes. No entanto, sem informações adicionais sobre as coordenadas exatas dos pontos nodais e as condições de contorno específicas, não podemos fornecer uma solução exata.

Se tivermos as posições dos pontos nodais e suas temperaturas, poderíamos montar um sistema de equações para resolver as constantes $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $. Vamos supor que os pontos nodais e suas temperaturas são dados por:

$$
(x_1, y_1, T_1), (x_2, y_2, T_2), (x_3, y_3, T_3)
$$

Podemos então escrever o sistema de equações:

$$
\begin{cases}
T_1 = \frac{q}{2k} (x_1^2 + y_1^2) + C_1 x_1 + C_2 y_1 + C_3 \
T_2 = \frac{q}{2k} (x_2^2 + y_2^2) + C_1 x_2 + C_2 y_2 + C_3 \
T_3 = \frac{q}{2k} (x_3^2 + y_3^2) + C_1 x_3 + C_2 y_3 + C_3
\end{cases}
$$

Resolvendo este sistema de equações lineares, podemos determinar as constantes $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ e, consequentemente, obter a distribuição de temperatura $ T(x, y) $ na barra.