1) Calcule a integral
(a) ∫ x cos xdx
(b) ∫ n√xdx
(c) ∫ x^4 ln(x)dx
(d) ∫ (x^2 - 1)^(1/2)dx
(e) ∫ sen^2(x)cos^2(x)dx
(f) ∫ (x^2 + 1)^{-1}dx
(2) Demonstre a fórmula de redução
Use a fórmula para calcular

(3) Calcule a integral
(a) ∫ sen^3(x)cos^2(x)dx
(b) ∫ tan^2(x)sec^2(x)dx
(c) ∫ sen^2(x)dx
(4) Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos.
∫ sen^m(x)cos^n(x)dx = 0, se m = 0, n 0
∫ sen^m(x)cos^n(x)dx = 0, se m 0, n = 0

Question

1) Calcule a integral
(a) ∫ x cos xdx
(b) ∫ n√xdx
(c) ∫ x^4 ln(x)dx
(d) ∫ (x^2 - 1)^(1/2)dx
(e) ∫ sen^2(x)cos^2(x)dx
(f) ∫ (x^2 + 1)^{-1}dx
(2) Demonstre a fórmula de redução
Use a fórmula para calcular

(3) Calcule a integral
(a) ∫ sen^3(x)cos^2(x)dx
(b) ∫ tan^2(x)sec^2(x)dx
(c) ∫ sen^2(x)dx
(4) Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos.
∫ sen^m(x)cos^n(x)dx = 0, se m = 0, n > 0
∫ sen^m(x)cos^n(x)dx = 0, se m > 0, n = 0

Accepted Answer

Para resolver as integrais e demonstrações, vamos abordar cada questão individualmente:

### (1) Calcule a integral

(a) $\int x \cos x \, dx$

Use integração por partes: seja $u = x$ e $dv = \cos x \, dx$.

(b) $\int \ln \sqrt{x} \, dx$

Simplifique para $\int \frac{1}{2} \ln x \, dx$ e use integração por partes.

(c) $\int \frac{x}{10^x} \, dx$

Use integração por partes: $u = x$, $dv = 10^{-x} \ln 10 \, dx$.

(d) $\int x^4 \ln x \, dx$

Use integração por partes: $u = \ln x$, $dv = x^4 \, dx$.

(e) $\int \frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2} \, dx$

Tente substituição: $v = 1 + 2x$.

(f) $\int_0^1 (x^2 + 1) e^{-x} \, dx$

Use integração por partes ou simplifique a expressão.

(g) $\int_0^{\pi/3} \sen x \ln (\cos x) \, dx$

Use integração por partes: $u = \ln (\cos x)$, $dv = \sen x \, dx$.

(h) $\int_0^t e^s \sen(t-s) \, ds$

Use a identidade trigonométrica para expandir $\sen(t-s)$ e integrar termo a termo.

(i) $\int_1^2 \frac{(\ln x)^2}{x^3} \, dx$

Use substituição: $u = \ln x$.

(j) $\int_1^\infty \frac{x}{e^x} \, dx$

Use integração por partes: $u = x$, $dv = e^{-x} \, dx$.

(k) $\int e^{\sqrt{x}} \, dx$

Use substituição: $u = \sqrt{x}$.

(l) $\int x \ln(1+x) \, dx$

Use integração por partes: $u = \ln(1+x)$, $dv = x \, dx$.

### (2) Demonstre a fórmula de redução

Para demonstrar a fórmula de redução:

$$
\int \cos^n x \, dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sen x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx
$$

Use integração por partes com $u = \cos^{n-1} x$ e $dv = \cos x \, dx$.

Calcule $\int \cos^2 x \, dx$ usando a fórmula.

### (3) Calcule a integral

Para cada integral, utilize técnicas como substituição, integração por partes, ou identidades trigonométricas conforme necessário.

### (4) Demonstre a fórmula

Demonstre que:

(a) $\int_{-\pi}^{\pi} \sen mx \cos nx \, dx = 0$

(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sen mx \sen nx \, dx = 
\begin{cases} 
0, & \text{se } m \neq n \ 
\pi, & \text{se } m = n 
\end{cases}$

(c) $\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx = 
\begin{cases} 
0, & \text{se } m \neq n \ 
\pi, & \text{se } m = n 
\end{cases}$

Use identidades trigonométricas e propriedades de ortogonalidade das funções seno e cosseno.

Se precisar de ajuda com alguma parte específica, sinta-se à vontade para perguntar!

1) Calcule a integral (a) ∫ x cos xdx (b) ∫ n√xdx (c) ∫ x^4 ...

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