1) Calcule os logaritmos:
a) $ \log _{7} 49 $
b) $ \log _{6} 216 $
c) $ \log _{128} 1024 $
d) $ \log _{\frac{3}{2}} \frac{4}{9} $
e) $ \log _{2} \sqrt[5]{16} $
f) $ \log 10000 $
g) $ \log _{4} 4 $
h) $ \log _{5} 1 $
i) $ \log _{3} 243 $
j) $ \log \sqrt[6]{1.000} $
k) $ \log _{\sqrt{5}} \sqrt[3]{625} $
1) $ \log _{243} 3 $
m) $ \log _{32} 128 $
n) $ \log _{\frac{4}{25}} \frac{625}{16} $
o) $ \log 0,001 $
p) $ \log _{0,3} 0,09 $
q) $ \log _{0,0016} 0,008 $
r) $ \log _{0,6} \frac{81}{625} $

Question

Accepted Answer

Vamos calcular cada um dos logaritmos passo a passo:

a) $ \log _{7} 49 $

Para resolver este logaritmo, precisamos encontrar o valor de $x$ tal que $7^x = 49$. Sabemos que $7^2 = 49$, então:
$$ \log _{7} 49 = 2 $$

b) $ \log _{6} 216 $

Precisamos encontrar o valor de $x$ tal que $6^x = 216$. Como $6^3 = 216$, então:
$$ \log _{6} 216 = 3 $$

c) $ \log _{128} 1024 $

Aqui, procuramos $x$ tal que $128^x = 1024$. Sabendo que $128 = 2^7$ e $1024 = 2^{10}$, podemos reescrever como $2^{7x} = 2^{10}$, resultando em $7x = 10$, então:
$$ \log _{128} 1024 = \frac{10}{7} $$

d) $ \log _{\frac{3}{2}} \frac{4}{9} $

Procuramos $x$ tal que $(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$. Sabendo que $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$ e $\frac{3}{2}$ é o inverso de $\frac{2}{3}$, temos:
$$ \log _{\frac{3}{2}} \frac{4}{9} = -2 $$

e) $ \log _{2} \sqrt[5]{16} $

Precisamos de $x$ tal que $2^x = 16^{1/5}$. Como $16 = 2^4$, então $16^{1/5} = (2^4)^{1/5} = 2^{4/5}$, portanto:
$$ \log _{2} \sqrt[5]{16} = \frac{4}{5} $$

f) $ \log 10000 $

Este é um logaritmo decimal (base 10) e precisamos de $x$ tal que $10^x = 10000$. Como $10000 = 10^4$, então:
$$ \log 10000 = 4 $$

g) $ \log _{4} 4 $

Aqui, $x$ tal que $4^x = 4$. Sabendo que $4 = 4^1$, então:
$$ \log _{4} 4 = 1 $$

h) $ \log _{5} 1 $

Para qualquer base $a$, $a^0 = 1$, então:
$$ \log _{5} 1 = 0 $$

i) $ \log _{3} 243 $

Precisamos encontrar $x$ tal que $3^x = 243$. Como $243 = 3^5$, então:
$$ \log _{3} 243 = 5 $$

j) $ \log \sqrt[6]{1.000} $

Aqui, $x$ tal que $10^x = 1.000^{1/6}$. Sabendo que $1.000 = 10^3$, temos $10^{3/6} = 10^{1/2}$, então:
$$ \log \sqrt[6]{1.000} = \frac{1}{2} $$

k) $ \log _{\sqrt{5}} \sqrt[3]{625} $

Precisamos de $x$ tal que $(\sqrt{5})^x = 625^{1/3}$. Sabendo que $625 = 5^4$, temos $(5^{1/2})^x = (5^4)^{1/3}$, resultando em $5^{x/2} = 5^{4/3}$, então:
$$ \log _{\sqrt{5}} \sqrt[3]{625} = \frac{8}{3} $$

l) $ \log _{243} 3 $

Procuramos $x$ tal que $243^x = 3$. Como $243 = 3^5$, então $3^5)^x = 3^1$, resultando em $5x = 1$, então:
$$ \log _{243} 3 = \frac{1}{5} $$

m) $ \log _{32} 128 $

Precisamos de $x$ tal que $32^x = 128$. Sabendo que $32 = 2^5$ e $128 = 2^7$, então $2^{5x} = 2^7$, resultando em $5x = 7$, então:
$$ \log _{32} 128 = \frac{7}{5} $$

n) $ \log _{\frac{4}{25}} \frac{625}{16} $

Procuramos $x$ tal que $(\frac{4}{25})^x = \frac{625}{16}$. Sabendo que $\frac{625}{16} = (\frac{25}{4})^2$ e $\frac{4}{25}$ é o inverso de $\frac{25}{4}$, temos:
$$ \log _{\frac{4}{25}} \frac{625}{16} = -2 $$

o) $ \log 0,001 $

Este é um logaritmo decimal (base 10) para $x$ tal que $10^x = 0,001$. Como $0,001 = 10^{-3}$, então:
$$ \log 0,001 = -3 $$

p) $ \log _{0,3} 0,09 $

Precisamos de $x$ tal que $0,3^x = 0,09$. Sabendo que $0,09 = (0,3)^2$, então:
$$ \log _{0,3} 0,09 = 2 $$

q) $ \log _{0,0016} 0,008 $

Aqui, $x$ tal que $0,0016^x = 0,008$. Sabendo que $0,0016 = (0,4)^4$ e $0,008 = (0,4)^3$, então $x = \frac{3}{4}$:
$$ \log _{0,0016} 0,008 = \frac{3}{4} $$

r) $ \log _{0,6} \frac{81}{625} $

Procuramos $x$ tal que $0,6^x = \frac{81}{625}$. Sabendo que $0,6 = \frac{3}{5}$ e $\frac{81}{625} = (\frac{3}{5})^4$, então:
$$ \log _{0,6} \frac{81}{625} = 4 $$

1) Calcule os logaritmos: a)

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