1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), B^tA^t, C^tA^t e (AB)AC? 1.1.3. Considere as seguintes matrizes

A = [ -3 2 1 ]
[ 1 -2 0 ]
[ 0 0 1 ]

B = [ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
[ 1 0 0 ]

C = [ d 0 0 ]
[ 0 d 0 ]
[ 0 0 d ]

D = [ 1 0 0 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]

E1 = [ 1 0 0 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 0 ]

E2 = [ 0 0 0 ]
[ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ]

Verifique que:

1.1.4. Sejam

A = [ 0 -3 0 ]
[ -4 0 2 ]

Verifique que x1 + x4 + x2 = AX, em que x_i é i-ésima coluna da B, para i = 1, 2, 3 (o caso geral está no Exercício 1.1.19 na página 25).

1.5. Encontre um valor de t para que AB = 0, em que

A = [ 1 2 ]
[ -2 -3 ]

1.6. Mostre que as matrizes A e B são matrizes que comutam com a matriz M = [ 1 0 ]
[ 0 1 ]

verificando a equação X^2 = X.

Question

1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), B^tA^t, C^tA^t e (AB)AC? 1.1.3. Considere as seguintes matrizes

A = [ -3 2 1 ]
    [  1 -2 0 ]
    [  0 0 1 ]

B = [ 0 1 0 ]
    [  0 0 1 ]
    [  1 0 0 ]

C = [ d 0 0 ]
    [  0 d 0 ]
    [  0 0 d ]

D = [ 1 0 0 ]
    [  0 1 0 ]
    [  0 0 1 ]

E1 = [ 1 0 0 ]
     [  0 1 0 ]
     [  0 0 0 ]

E2 = [ 0 0 0 ]
     [  0 1 0 ]
     [  0 0 1 ]

Verifique que:

1.1.4. Sejam

A = [ 0 -3 0 ]
    [ -4 0 2 ]

Verifique que x1 + x4 + x2 = AX, em que x_i é i-ésima coluna da B, para i = 1, 2, 3 (o caso geral está no Exercício 1.1.19 na página 25).

1.5. Encontre um valor de t para que AB = 0, em que

A = [ 1 2 ]
    [ -2 -3 ]

1.6. Mostre que as matrizes A e B são matrizes que comutam com a matriz M = [ 1 0 ]
                                                                                  [ 0 1 ]

verificando a equação X^2 = X.

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver os exercícios de matrizes passo a passo.

### Exercício 1.1.2

Dado que conhecemos os produtos $ AB $ e $ AC $, queremos calcular:

- $ A(B + C) $
- $ B^t A $
- $ C^t A^t $
- $ (AB + AC)^t $

**Passo 1: $ A(B + C) $**

Sabemos que:

$$ A(B + C) = AB + AC $$

Como já conhecemos $ AB $ e $ AC $, podemos simplesmente somar esses dois resultados.

**Passo 2: $ B^t A $**

Para calcular $ B^t A $, precisamos transpor a matriz $ B $ e depois multiplicá-la pela matriz $ A $.

**Passo 3: $ C^t A^t $**

Aqui, devemos primeiro transpor as matrizes $ C $ e $ A $, e então multiplicar $ C^t $ por $ A^t $.

**Passo 4: $ (AB + AC)^t $**

Primeiro, calculamos $ AB + AC $ e depois transpondo o resultado.

### Exercício 1.1.3

Verificações:
- **(a)** $ AB \neq BA $

Multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, $ AB \neq BA $. Calcule ambos os produtos para verificar.

- **(b)** $ A E_j $ é a j-ésima coluna de $ A $

Multiplicando $ A $ pela matriz identidade multiplicada por uma coluna específica, obtemos essa coluna de $ A $.

- **(c)** $ CD = \begin{bmatrix} C_1 & C_2 & C_3 \end{bmatrix} $

Multiplique $ C $ por $ D $ e verifique que o resultado é a concatenação das colunas de $ C $.

- **(d)** $ DC $

Multiplicar $ D $ por $ C $ deve resultar na matriz $ C $ com suas colunas reorganizadas conforme os elementos de $ D $.

- **(e)** Escrevendo $ B $ em termos das suas colunas

Decomponha a matriz $ B $ em suas colunas e multiplique cada coluna por $ A $.

- **(f)** Escrevendo $ A $ em termos das suas linhas

Decomponha a matriz $ A $ em suas linhas e multiplique cada linha por $ B $.

### Exercício 1.1.4

Verificar que $ x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 = AX $ para $ X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} $.

Calcule a multiplicação de $ A $ por $ X $ e verifique se é igual à combinação linear das colunas de $ A $.

### Exercício 1.1.5

Encontrar um valor de $ t $ tal que $ AB^t = 0 $.

Calcule $ AB^t $ e ajuste $ t $ para que o produto seja a matriz nula.

### Exercício 1.1.6

Mostrar que as matrizes $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ I $ verificam a equação $ X^2 = -2X $.

Calcule $ A^2 $ e verifique se satisfaz a equação dada.

### Exercício 1.1.7

Mostrar que se $ A = D $ são matrizes que comutam com a matriz $ M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $, então $ AB = BA $.

Verifique a propriedade comutativa para $ M $ e aplique-a a $ A $ e $ B $.

Se precisar de mais detalhes ou ajuda com algum ponto específico, me avise!

1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podem...

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