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(1 ponto) Verifique se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
(a) ∑{n=0}^{∞} \frac{2n^2}{3n^2 + 1}
(b) ∑{n=2}^{∞} \frac{1}{n(n - 1)}
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(2 pontos) Determine os intervalos de convergência das séries de potências.
(a) ∑{n=1}^{∞} x^n
(b) ∑{n=1}^{∞} \frac{n(-3)^n}{5^{n-1}} x^n
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(2 pontos) Encontre uma representação em série de potências em torno do ponto x_0. Determine o intervalo de convergência.
(a) f(x) = e^x, x_0 = 0;
(b) f(x) = ln x, x_0 = 1.
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(4 pontos)
(a) Resolva o problema de valor inicial
y'' + y = e^x + x^3, y(0) = 2, y'(0) = 1.
(b) Procure uma solução em série de potências em torno do ponto x_0 = 0 da equação
(1 + x^2)y'' - 4xy' + y = 0.
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(1 ponto) Encontre a série de Fourier da seguinte função periódica.
f(x) = { x, -π ≤ x < 0; 0, 0 ≤ x < π; }
f(x + 2π) = f(x).
