1. (10 PONTOS) Determine o valor de x no triângulo a seguir, dado que as medidas estão em centímetros:

Fórmulas

a / sen α = b / sen β = c / sen γ

a² = b² + c² - 2bc·cos α

d = (n-3)·n/2 → (diagonais)
Sᵢ = (n-2)·180 → (soma dos ângulos internos)

Q: 1. (10 PONTOS) Determine o valor de x no triângulo a seguir, dado que as medidas estão em centímetros: Fórmulas a / sen α = b / sen β = c / sen γ a² = b² + c² - 2bc·cos α d = (n-3)·n/2 → (diagonais) Sᵢ = (n-2)·180 → (soma dos ângulos internos)

Para determinar o valor de $ x $ no triângulo, podemos usar a Lei dos Senos. No triângulo $ \triangle ABC $, temos: - Ângulo $ A = 45^\circ $ - Ângulo $ B = 60^\circ $ - Ângulo $ C = 75^\circ $ - Lado $ BC = 2 $ A Lei dos Senos é dada por: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Neste caso, queremos encontrar o lado $ AC = x $. Assim, temos: \[ \frac{x}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin 75^\circ} \] Sabemos que: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Substituindo na equação: \[ \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Resolvendo para $ x $: \[ x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Racionalizando o denominador: \[ x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \] \[ x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} \] \[ x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] \[ x = \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ x = \sqrt{18} - \sqrt{6} \] \[ x = 3\sqrt{2} - \sqrt{6} \] Portanto, o valor de $ x $ é aproximadamente 2,15 cm.

Question

1. (10 PONTOS) Determine o valor de x no triângulo a seguir, dado que as medidas estão em centímetros:

Fórmulas

a / sen α = b / sen β = c / sen γ

a² = b² + c² - 2bc·cos α

d = (n-3)·n/2 → (diagonais)
Sᵢ = (n-2)·180 → (soma dos ângulos internos)

Accepted Answer

Para determinar o valor de $ x $ no triângulo, podemos usar a Lei dos Senos. No triângulo $ \triangle ABC $, temos:

- Ângulo $ A = 45^\circ $
- Ângulo $ B = 60^\circ $
- Ângulo $ C = 75^\circ $
- Lado $ BC = 2 $

A Lei dos Senos é dada por:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

Neste caso, queremos encontrar o lado $ AC = x $. Assim, temos:

$$
\frac{x}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin 75^\circ}
$$

Sabemos que:

$$
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$

$$
= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$

Substituindo na equação:

$$
\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
$$

Resolvendo para $ x $:

$$
x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
$$
$$
x = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}
$$

Racionalizando o denominador:

$$
x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}
$$
$$
x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}
$$
$$
x = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}
$$
$$
x = \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})
$$
$$
x = \sqrt{18} - \sqrt{6}
$$
$$
x = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}
$$

Portanto, o valor de $ x $ é aproximadamente 2,15 cm.

1. (10 PONTOS) Determine o valor de x no triângulo a seguir,...

(10 PONTOS) Determine o valor de x no triângulo a seguir, dado que as medidas estão em centímetros:

Fórmulas

a / sen α = b / sen β = c / sen γ

a² = b² + c² - 2bc·cos α

d = (n-3)·n/2 → (diagonais) Sᵢ = (n-2)·180 → (soma dos ângulos internos)

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