1. 2 pontos Determine os limites (se existem) seguintes : a) lim x-0 (x+2 - √2)/x b) lim x-3 (x - 3)/(√(x+1) - 2) 2. 2 pontos Analise a continuidade de f(x) = { 1, se x 2; 3. 2 pontos Ache as assintotas de f(x) = (x² - 9)/(x² + 3x). Esboce o gráfico. 4. 2 pontos Calcule a derivada das seguintes funções: a) f(x) = √(4*2x^5 - e^(-x²) + √(-x - 3x²)) b) f(x) = √(7*(-x + Ln x² - √(x³ + Sen(4x²) - 3√(Cos(-x) + 4x - 2x))) 5. 2 pontos Calcule os valores das constantes a e b para que f'(0) exista, onde f(x) = { ax + b, se x

Question

1. 2 pontos Determine os limites (se existem) seguintes : a) lim x->0 (x+2 - √2)/x b) lim x->3 (x - 3)/(√(x+1) - 2) 2. 2 pontos Analise a continuidade de f(x) = { 1, se x < -2 5 - x², se |x| ≤ 2 x + 1, se x > 2; 3. 2 pontos Ache as assintotas de f(x) = (x² - 9)/(x² + 3x). Esboce o gráfico. 4. 2 pontos Calcule a derivada das seguintes funções: a) f(x) = √(4*2x^5 - e^(-x²) + √(-x - 3x²)) b) f(x) = √(7*(-x + Ln x² - √(x³ + Sen(4x²) - 3√(Cos(-x) + 4x - 2x))) 5. 2 pontos Calcule os valores das constantes a e b para que f'(0) exista, onde f(x) = { ax + b, se x < 0 x² - 1, se x ≥ 0 } 6. 2 pontos A receita total recebida na venda de x estantes é R(x) = 150x - (x²/4). (a) Ache a receita marginal para x = 20. (b) Ache a receita efetiva da venda da 21ª estante. (c) Ache o número de estantes vendidas quando a receita marginal é 140.

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão:

1. **Limites**

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}}{x}$

Para resolver esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:

$$
   \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{2})(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{2}}
   $$

Quando $x \to 0$, $\sqrt{x+2} \to \sqrt{2}$, então o limite é:

$$
   \frac{1}{2\sqrt{2}}
   $$

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x+1} - 2}$

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

$$
   \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}{x - 3}
   $$

Simplificando, temos:

$$
   \lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} + 2) = \sqrt{4} + 2 = 4
   $$

2. **Continuidade de $f(x)$**

A função é contínua se o limite à esquerda e à direita em cada ponto de transição for igual ao valor da função nesse ponto.

- Para $x = -2$, verificamos os limites laterais:
     $$
     \lim_{x \to -2^-} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to -2^+} f(x) = 5 - (-2)^2 = 1
     $$
     A função é contínua em $x = -2$.

- Para $x = 2$, verificamos os limites laterais:
     $$
     \lim_{x \to 2^-} f(x) = 5 - 2^2 = 1, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 + 1 = 3
     $$
     A função não é contínua em $x = 2$.

3. **Assíntotas de $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$**

- Assíntota vertical ocorre quando o denominador é zero e o numerador não é zero:
     $$
     x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = -3
     $$

- Assíntota horizontal é determinada pelo grau dos polinômios. Como o grau do numerador é igual ao do denominador, a assíntota horizontal é:
     $$
     y = \frac{1}{1} = 1
     $$

4. **Derivadas**

a) $f(x) = \sqrt[4]{2x^5 - e^{-x^2} + \sqrt[5]{-x - 3x^2}}$

Use a regra da cadeia para derivar cada termo.

b) $f(x) = \sqrt[7]{-x + \ln x^2 - \sqrt{x^3 + \sin(4x^2)} - \sqrt[3]{\cos(-x)} + 4x^{-2x}}$

Use a regra da cadeia e as regras de derivação para cada função composta.

5. **Constantes $a$ e $b$ para $f'(0)$ existir**

Para que $f'(0)$ exista, $f(x)$ deve ser contínua e derivável em $x = 0$. Isso implica que:

$$
   ax + b = x^2 - 1 \Rightarrow a(0) + b = (0)^2 - 1 \Rightarrow b = -1
   $$

E para as derivadas serem iguais:

$$
   a = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1 - (-1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0
   $$

6. **Receita total $R(x) = 150x - \frac{x^2}{4}$**

a) Receita marginal para $x = 20$:

$$
   R'(x) = 150 - \frac{x}{2}
   $$

$$
   R'(20) = 150 - \frac{20}{2} = 140
   $$

b) Receita efetiva da venda da 21ª estante:

$$
   R(21) - R(20) = \left(150 \times 21 - \frac{21^2}{4}\right) - \left(150 \times 20 - \frac{20^2}{4}\right)
   $$

c) Número de estantes vendidas quando a receita marginal é 140:

$$
   150 - \frac{x}{2} = 140 \Rightarrow \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x = 20
   $$

1. 2 pontos Determine os limites (se existem) seguintes : a...

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