1) (3,75 pontos) A resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo é apresentada pelo seguinte diagrama de Bode:

Diagrama de Bode:

Módulo (dB)

Fase (graus)

Frequência (rad/s)

A função de transferência que melhor se encaixa no diagrama de Bode apresentado acima é:

a) G(s) = \frac{10}{(s+1)(s+10)}

b) G(s) = \frac{10}{(s-1)(s-10)}

c) G(s) = \frac{10}{(s-1)(s+10)}

d) G(s) = \frac{-10}{(s+1)(s+10)}

e) G(s) = \frac{-10}{(s+1)(s+10)}

Justifique sua resposta.

Question

1) (3,75 pontos) A resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo é apresentada pelo seguinte diagrama de Bode:

Diagrama de Bode:

Módulo (dB)

Fase (graus)

Frequência (rad/s)

A função de transferência que melhor se encaixa no diagrama de Bode apresentado acima é:

a) G(s) = \frac{10}{(s+1)(s+10)}

b) G(s) = \frac{10}{(s-1)(s-10)}

c) G(s) = \frac{10}{(s-1)(s+10)}

d) G(s) = \frac{-10}{(s+1)(s+10)}

e) G(s) = \frac{-10}{(s+1)(s+10)}

Justifique sua resposta.

Accepted Answer

Para resolver o exercício, precisamos analisar o diagrama de Bode dado e compará-lo com as funções de transferência fornecidas nas alternativas. Vamos seguir os passos:

### Análise do Diagrama de Bode

1. **Módulo (Ganho):**
   - O ganho inicial é 0 dB, indicando que não há multiplicação ou divisão por uma constante maior ou menor que 1.
   - A inclinação do gráfico de módulo é de -40 dB/década após a frequência de canto em 1 rad/s. Isso sugere dois polos.

2. **Fase:**
   - A fase começa em 0 graus e decresce para -180 graus. Isso também indica dois polos.

### Análise das Alternativas

Vamos calcular a resposta em frequência para cada alternativa e verificar qual delas se ajusta ao diagrama de Bode.

#### Alternativa a)

$$ G(s) = \frac{10}{(s+1)(s+10)} $$

- **Polos:** $ s = -1 $ e $ s = -10 $
- **Ganho inicial:** 20 dB (não corresponde a 0 dB)
- **Inclinação:** -40 dB/década (correto)
- **Fase inicial:** 0 graus
- **Fase final:** -180 graus (correto)

#### Alternativa b)

$$ G(s) = \frac{10}{(s-1)(s-10)} $$

- **Polos:** $ s = 1 $ e $ s = 10 $ (não faz sentido físico pois são no semi-plano direito)
- **Inclinação:** Não analisada devido aos polos instáveis.

#### Alternativa c)

$$ G(s) = \frac{-10}{(s-1)(s+10)} $$

- **Polos:** $ s = 1 $ e $ s = -10 $ (um polo no semi-plano direito)
- **Inclinação:** Não analisada devido aos polos instáveis.

#### Alternativa d)

$$ G(s) = \frac{-10}{(s-1)(s+10)} $$

- **Polos:** $ s = 1 $ e $ s = -10 $ (um polo no semi-plano direito)
- **Inclinação:** Não analisada devido aos polos instáveis.

#### Alternativa e)

$$ G(s) = \frac{-10}{(s+1)(s+10)} $$

- **Polos:** $ s = -1 $ e $ s = -10 $
- **Ganho inicial:** 0 dB (correto)
- **Inclinação:** -40 dB/década (correto)
- **Fase inicial:** -180 graus (inversão de fase devido ao sinal negativo)
- **Fase final:** -360 graus

### Conclusão

A alternativa correta é **e)** porque:

- O ganho inicial é 0 dB.
- A inclinação é de -40 dB/década, indicando dois polos.
- A fase total varia de -180 a -360 graus devido ao termo negativo.

**Resposta: e)**

1) (3,75 pontos) A resposta em frequência de um sistema line...

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