1 ACHE A DERIVADA DECIMAL DADA NA DIREÇÃO E SENTIDO
DO JETOR UNITÁRIO $\vec{u}$
@ $f(x,y) = 2x^2 + y^2$ ; $\vec{u} = cos \frac{\Pi}{4} i + sin \frac{\Pi}{4} j$.

Question

Accepted Answer

Aqui está a solução passo a passo para encontrar a derivada direcional da função dada na direção do vetor unitário especificado:

1. **Calcular o gradiente da função $ f(x, y) $**:
   O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é dado por:
   
   $$
   \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)
   $$
   
   Para $ f(x, y) = 2x^2 + y^2 $, calculamos as derivadas parciais:
   
   $$
   \frac{\partial f}{\partial x} = 4x
   $$
   
   $$
   \frac{\partial f}{\partial y} = 2y
   $$
   
   Portanto, o gradiente é:
   
   $$
   \nabla f(x, y) = (4x, 2y)
   $$

2. **Determinar o vetor unitário $ \vec{u} $**:
   O vetor unitário $ \vec{u} $ é dado por:
   
   $$
   \vec{u} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \hat{i} + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \hat{j}
   $$
   
   Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
   
   $$
   \vec{u} = \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
   $$

3. **Calcular a derivada direcional $ D_{\vec{u}}f(x, y) $**:
   A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente da função com o vetor unitário:
   
   $$
   D_{\vec{u}}f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \vec{u}
   $$
   
   Substituindo os valores que encontramos:
   
   $$
   D_{\vec{u}}f(x, y) = (4x, 2y) \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
   $$
   
   $$
   D_{\vec{u}}f(x, y) = 4x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$
   
   $$
   D_{\vec{u}}f(x, y) = 2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y
   $$

Portanto, a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2x^2 + y^2 $ na direção do vetor unitário $ \vec{u} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ é:

$$
D_{\vec{u}}f(x, y) = 2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y
$$

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1 ACHE A DERIVADA DECIMAL DADA NA DIREÇÃO E SENTIDO DO JETOR UNITÁRIO $\vec{u}$ @ $f(x,y) = 2x^2 + y^2$ ; $\vec{u} = cos \frac{\Pi}{4} i + sin \frac{\Pi}{4} j$ .

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1 ACHE A DERIVADA DECIMAL DADA NA DIREÇÃO E SENTIDO DO JETOR...

1 ACHE A DERIVADA DECIMAL DADA NA DIREÇÃO E SENTIDO DO JETOR UNITÁRIO u⃗\vec{u}u @ f(x,y)=2x2+y2f(x,y) = 2x^2 + y^2f(x,y)=2x2+y2 ; u⃗=cosΠ4i+sinΠ4j\vec{u} = cos \frac{\Pi}{4} i + sin \frac{\Pi}{4} ju=cos4Π​i+sin4Π​j.

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1 ACHE A DERIVADA DECIMAL DADA NA DIREÇÃO E SENTIDO DO JETOR UNITÁRIO $\vec{u}$ @ $f(x,y) = 2x^2 + y^2$ ; $\vec{u} = cos \frac{\Pi}{4} i + sin \frac{\Pi}{4} j$ .