1. C4:H17 (UPE) Mariana fez um empréstimo à base de juros compostos, num banco que cobra $ 10 \% $ ao mês. Ao final de 180 dias, 0 montante a ser pago por ela será de R\$\$ 9000,00 . Com o dinheiro do empréstimo, Mariana realizou alguns pagamentos chegando a sua casa com RS 1 250,00. Quanto ela gastou, aproximadamente, com os pagamentos?
Adote $ (1,1)^{6}=1,8 $

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, primeiro precisamos entender como os juros compostos funcionam e como aplicar a fórmula para encontrar o valor que Mariana tomou emprestado inicialmente. A fórmula dos juros compostos é:

$$ M = P(1 + i)^n $$

onde:
- $M$ é o montante (valor futuro),
- $P$ é o principal (valor inicial ou valor do empréstimo),
- $i$ é a taxa de juro por período (em forma decimal),
- $n$ é o número de períodos.

Dado que $i = 10\% = 0,10$ ao mês e $n = 180$ dias, que equivalem a 6 meses (pois $180 \, \text{dias} \div 30 \, \text{dias/mês} = 6 \, \text{meses}$), podemos substituir esses valores na fórmula, juntamente com o montante ($M = R\$ 9000,00$) para encontrar $P$.

A questão já nos dá uma aproximação de $(1,1)^6 = 1,8$, então podemos reescrever a fórmula como:

$$ 9000 = P \cdot 1,8 $$

Resolvendo para $P$, temos:

$$ P = \frac{9000}{1,8} $$

$$ P = 5000 $$

Isso significa que Mariana tomou emprestado $R\$ 5000,00$. Agora, para descobrir quanto ela gastou com os pagamentos, subtraímos o valor que restou ($R\$ 1250,00$) do valor emprestado:

$$ \text{Gasto} = \text{Valor Emprestado} - \text{Valor Restante} $$
$$ \text{Gasto} = 5000 - 1250 $$
$$ \text{Gasto} = R\$ 3750,00 $$

Portanto, Mariana gastou aproximadamente $R\$ 3750,00$ com os pagamentos.