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Estudos Gerais • 04/15/2025

1. Calcule a integral tripla , fazendo a mudança de variávei...

  1. Calcule a integral tripla ∫03∫01∫12(x+2y+3z2) dzdxdy\int_0^3 \int_0^1 \int_1^2 (x + 2y + 3z^2) \ dzdxdy.

  2. Encontre o volume do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide z=x2+y2z = x^2 + y^2 e superiormente pelo paraboloide z=8−x2−y2z = 8 - x^2 - y^2. Abaixo temos um esboço desse sólido e da projeção dele no plano xy. Sugestão: use coordenadas cilíndricas.

  3. Encontre o volume da semiesfera superior de raio 4 (x2+y2+z2=16)(x^2 + y^2 + z^2 = 16), utilizando coordenadas esféricas.

  4. Calcule a integral dupla ∬R(4x+8y) dA\iint_R (4x + 8y) \, dA, onde RR é o paralelogramo com vértices nos pontos (−1,3),(1,−3),(3,−1) e (1,5)(-1,3), (1,-3), (3,-1) \ e \ (1,5), fazendo a mudança de variáveis dada por:

{x=14(u−v)y=14(v−3u) \begin{cases} x = \frac{1}{4}(u-v) \\ y = \frac{1}{4}(v-3u) \end{cases}

1. Calcule a integral tripla \( \int_0^3 \int_0^1 \int_1^2 (x + 2y + 3z^2) \ dzdxdy \). 2. Encontre o volume do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e superiormente pelo paraboloide \( z = 8 - x^2 - y^2 \). Abaixo temos um esboço desse sólido e da projeção dele no plano xy. **Sugestão**: use coordenadas cilíndricas. 3. Encontre o volume da semiesfera superior de raio 4 \( (x^2 + y^2 + z^2 = 16) \), utilizando coordenadas esféricas. 4. Calcule a integral dupla \( \iint_R (4x + 8y) \, dA \), onde \( R \) é o paralelogramo com vértices nos pontos \((-1,3), (1,-3), (3,-1) \ e \ (1,5)\), fazendo a mudança de variáveis dada por: \[ \begin{cases} x = \frac{1}{4}(u-v) \\ y = \frac{1}{4}(v-3u) \end{cases} \]
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