1. Com 8 tipos de frutas, quantas saladas diferentes podem ser feitas usando 4 frutas?
2. S˜ao dispostos dois pinos verdes e certo n´umero de pinos azuis. Permutando-se esses pinos entre si, obtˆem-se
15 agrupamentos diferentes. Quantos s˜ao os pinos azuis?
3. Em uma reuni˜ao social, havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de m˜ao. Sabendo-se
que houve, ao todo, 66 apertos de m˜ao. Quantas pessoas estavam na reuni˜ao? RESUMIDAMENTE

Question

1. Com 8 tipos de frutas, quantas saladas diferentes podem ser feitas usando 4 frutas?
2. S˜ao dispostos dois pinos verdes e certo n´umero de pinos azuis. Permutando-se esses pinos entre si, obtˆem-se
15 agrupamentos diferentes. Quantos s˜ao os pinos azuis?
3. Em uma reuni˜ao social, havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de m˜ao. Sabendo-se
que houve, ao todo, 66 apertos de m˜ao. Quantas pessoas estavam na reuni˜ao?      RESUMIDAMENTE

Accepted Answer

1. Para calcular quantas saladas diferentes podem ser feitas usando 4 frutas de um total de 8 tipos, utilizamos a combinação simples:

$$
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
$$

Portanto, podem ser feitas **70** saladas diferentes.

2. Se há dois pinos verdes e um certo número de pinos azuis, e o total de permutações é 15, podemos usar a fórmula para permutações de objetos com repetição:

$$
\frac{(n+2)!}{2! \cdot n!} = 15
$$

Resolvendo para $n$, temos:

$$
\frac{(n+2)(n+1)}{2} = 15 \implies (n+2)(n+1) = 30
$$

Tentando valores inteiros, encontramos que $n = 4$.

Portanto, há **4** pinos azuis.

3. O número de apertos de mão entre $n$ pessoas é dado por:

$$
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} = 66
$$

Resolvendo para $n$:

$$
n(n-1) = 132
$$

Tentando valores inteiros, encontramos que $n = 12$.

Portanto, havia **12** pessoas na reunião.

1. Com 8 tipos de frutas, quantas saladas diferentes podem s...

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