1. Considere a função quadrática definida por f(x) = x² + 2x - 15 e faça o que se pede.
a) Calcule os zeros dessa função.
b) Determine o ponto em que seu gráfico cruza o eixo y.

2. Determine, em cada caso, o número de raízes reais da equação f(x) = 0 e indique em quantos pontos o gráfico de f corta o eixo x.
a) f(x) = x² - 5x + 6
b) f(x) = x² + 6x + 9
c) f(x) = x² + 4x + 9

3. Considere o gráfico da função quadrática definida por f(x) = x² + 3x + 2 e determine
a) o ponto em que ele intersecta o eixo y.
b) as coordenadas do vértice.
c) os pontos em que ele intersecta o eixo x.

Question

1. Considere a função quadrática definida por f(x) = x² + 2x - 15 e faça o que se pede.
   a) Calcule os zeros dessa função.
   b) Determine o ponto em que seu gráfico cruza o eixo y.

2. Determine, em cada caso, o número de raízes reais da equação f(x) = 0 e indique em quantos pontos o gráfico de f corta o eixo x.
   a) f(x) = x² - 5x + 6
   b) f(x) = x² + 6x + 9
   c) f(x) = x² + 4x + 9

3. Considere o gráfico da função quadrática definida por f(x) = x² + 3x + 2 e determine
   a) o ponto em que ele intersecta o eixo y.
   b) as coordenadas do vértice.
   c) os pontos em que ele intersecta o eixo x.

Accepted Answer

Vamos resolver os exercícios:

1. Considere a função quadrática definida por $ f(x) = x^2 + 2x - 15 $.

a) Calcule os zeros dessa função.

Para encontrar os zeros, resolvemos a equação $ x^2 + 2x - 15 = 0 $.

Usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   onde $ a = 1 $, $ b = 2 $, $ c = -15 $.

$$
   x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-2 \pm 8}{2}
   $$

As soluções são:
   $$
   x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3
   $$
   $$
   x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5
   $$

b) Determine o ponto em que seu gráfico cruza o eixo y.

O ponto em que cruza o eixo y é dado por $ f(0) $:
   $$
   f(0) = 0^2 + 2 \times 0 - 15 = -15
   $$

Portanto, o ponto é $ (0, -15) $.

2. Determine o número de raízes reais da equação $ f(x) = 0 $ e indique em quantos pontos o gráfico de $ f $ corta o eixo x.

a) $ f(x) = x^2 - 5x + 6 $

$$
   \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
   $$

Como $ \Delta > 0 $, há duas raízes reais. O gráfico corta o eixo x em dois pontos.

b) $ f(x) = x^2 + 6x + 9 $

$$
   \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0
   $$

Como $ \Delta = 0 $, há uma raiz real dupla. O gráfico toca o eixo x em um ponto.

c) $ f(x) = x^2 + 4x + 9 $

$$
   \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20
   $$

Como $ \Delta < 0 $, não há raízes reais. O gráfico não corta o eixo x.

3. Considere o gráfico da função quadrática $ f(x) = x^2 + 3x + 2 $.

a) O ponto em que ele intersecta o eixo y é dado por $ f(0) $:
   $$
   f(0) = 0^2 + 3 \times 0 + 2 = 2
   $$

Portanto, o ponto é $ (0, 2) $.

b) As coordenadas do vértice são dadas por:
   $$
   x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}
   $$
   $$
   y_v = f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 2
   $$
   $$
   y_v = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4}
   $$

Portanto, o vértice é $ \left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}\right) $.

c) Os pontos em que ele intersecta o eixo x são as soluções de $ x^2 + 3x + 2 = 0 $.

Usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{-3 \pm 1}{2}
   $$

As soluções são:
   $$
   x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1
   $$
   $$
   x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2
   $$

Portanto, os pontos são $ (-1, 0) $ e $ (-2, 0) $.

1. Considere a função quadrática definida por f(x) = x² + 2x...

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