1. Considere as seguintes afirmações sobre números complexos.
I. O módulo de z = 3 + 4i é |z| = 5.
II. Se u = 1 + i e v = 1 - i, então |u| = |v|.
III. Para que w = (x - 3) + (x + 4)i seja um número real, é necessário e suficiente que x = 3.

Question

Accepted Answer

Para analisar as afirmações sobre números complexos:

I. O módulo de $ z = 3 + 4i $ é $|z| = 5$.

O módulo de um número complexo $ z = a + bi $ é dado por $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$$ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

A afirmação I é **correta**.

II. Se $ u = 1 + i $ e $ v = 1 - i $, então $|u \cdot v| = |u| \cdot |v|$.

Calculando os módulos:

$$ |u| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$
$$ |v| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$

Multiplicando:

$$ u \cdot v = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2 $$

Então, $|u \cdot v| = |2| = 2$.

E $|u| \cdot |v| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

A afirmação II é **correta**.

III. Para que $ w = (x - 3) + (x + 4)i $ seja um número real, é necessário e suficiente que $ x = 3 $.

Para que $ w $ seja um número real, a parte imaginária deve ser zero:

$$ x + 4 = 0 $$
$$ x = -4 $$

A afirmação III é **incorreta**.

**Conclusão:** As afirmações corretas são I e II.

1. Considere as seguintes afirmações sobre números complexos...

Considere as seguintes afirmações sobre números complexos. I. O módulo de z = 3 + 4i é |z| = 5. II. Se u = 1 + i e v = 1 - i, então |u| = |v|. III. Para que w = (x - 3) + (x + 4)i seja um número real, é necessário e suficiente que x = 3.

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