1. Determine o valor máximo ou mínimo das funções definidas a seguir.
a) f(x) = -4x^4 - 4x^3 - 2
b) g(x) = x^2 - 4x + 3

2. Determine a continuação da imagem da função para f(x) = 2x^2 - 8x + 6.

3. As dimensões relativas da parábola que representa a porta da Igreja da Pampulha estão em proporção com a altura do arco de uma ponte.

4. O avião Garibald e uma ponte ferroviária sobre o Rio Truyre, na França. Essa estrutura é inspirada na torre Eiffel, em Paris. A ponte tem uma altura de 124 m e largura de 165 m.

Question

1. Determine o valor máximo ou mínimo das funções definidas a seguir.
   a) f(x) = -4x^4 - 4x^3 - 2
   b) g(x) = x^2 - 4x + 3

2. Determine a continuação da imagem da função para f(x) = 2x^2 - 8x + 6.

3. As dimensões relativas da parábola que representa a porta da Igreja da Pampulha estão em proporção com a altura do arco de uma ponte.

4. O avião Garibald e uma ponte ferroviária sobre o Rio Truyre, na França. Essa estrutura é inspirada na torre Eiffel, em Paris. A ponte tem uma altura de 124 m e largura de 165 m.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões uma a uma:

1. **Determine o valor máximo ou mínimo das funções definidas a seguir:**

a) $ f(x) = -4x^2 - 4x - 8 $

A função é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de $x^2$ é negativo), então tem um valor máximo. O vértice da parábola é dado por:

$$
   x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times -4} = \frac{1}{2}
   $$

Substituindo na função para encontrar o valor máximo:

$$
   f\left(\frac{1}{2}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) - 8 = -1 - 2 - 8 = -11
   $$

**Valor máximo: -11**

b) $ g(x) = -x^2 + x + 3 $

Também é uma parábola com concavidade para baixo, então tem um valor máximo. O vértice é:

$$
   x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times -1} = \frac{1}{2}
   $$

Substituindo na função:

$$
   g\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{11}{4} = 2.75
   $$

**Valor máximo: 2.75**

2. **Determine o conjunto imagem da função dada por $ f(x) = 2x^2 - 8x + 6 $.**

Esta é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de $x^2$ é positivo), então tem um valor mínimo no vértice. Vamos encontrar o vértice:

$$
   x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2
   $$

Substituindo na função para encontrar o valor mínimo:

$$
   f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
   $$

Como a parábola abre para cima, o conjunto imagem é $[-2, \infty)$.

3. **As dimensões reais da parábola que representa a parte frontal da Igreja da Pampulha estão no gráfico a seguir.**

Sendo $ f(x) = ax^2 + c $ a expressão da função correspondente ao gráfico, precisamos determinar os valores de $a$ e $c$.

Pelo gráfico, sabemos que a parábola tem vértice em $ (0, 9) $ e passa por $ (-6, 0) $ e $ (6, 0) $.

A equação canônica é:

$$
   f(x) = a(x - 0)^2 + 9
   $$

Usando o ponto $ (-6, 0) $:

$$
   0 = a(-6)^2 + 9 \implies 36a + 9 = 0 \implies a = -\frac{1}{4}
   $$

Então, a função é:

$$
   f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 9
   $$

4. **Determine a expressão canônica da função quadrática que fornece o arco sustentador da ponte.**

O arco é um segmento de parábola com vértice em $ (0, 124) $ e passa por $ (-165, 0) $ e $ (165, 0) $.

A equação canônica é:

$$
   f(x) = a(x - 0)^2 + 124
   $$

Usando o ponto $ (165, 0) $:

$$
   0 = a(165)^2 + 124 \implies 27225a + 124 = 0 \implies a = -\frac{124}{27225}
   $$

Assim, a função é:

$$
   f(x) = -\frac{124}{27225}x^2 + 124
   $$

1. Determine o valor máximo ou mínimo das funções definidas ...

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