1) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas. (Eixo do x)

2) Em cada função quadrática dada a seguir, calcule o valor dos coeficientes desconhecidos:

a) y = x² – bx + 7, sendo y = -1 quando x = 1.
b) y = -2x² – bx + c, sendo y = -4 quando x = 1 e b + c = 4

3) Encontre os vértices das funções abaixo:
a) f(x) = x² – 13x + 42
b) f(x) = -2x² – 5x + 6
c) f(x) = 3x² + x – 14
d) f(x) = 5x² – 3x – 2
e) f(x) = 12 – 2x² = 8x + 2
f) f(x) = 2x (5 – x) = x² + 3
g) f(x) = 5x2 – 2x + 1
h) f(x) = (x – 1)(3x + 2)

3) Sendo f(x) = – x ²+ 4x – 3, calcule:
a) f (1) =
b) f ( -2) =
c) f ( 0) =
d) f ( -5) =

4) Determine as raízes ou zeros da função quadrática f(x) = x² – 4x – 5.
5) Determine o vértice da função quadrática y = 8x² – 3x – 5.
6) Determine o vértice da função y = -x² + 2x.
7) Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = x² - 4x + 3.
8) Calcule as raízes da equação x² + 5x + 6 = 0.
9) Determine o eixo de simetria da parábola representada por y = 3x² - 12x + 9.
10) Determine as coordenadas do vértice da parábola y = -4x² + 16x - 15.
11) Calcule as raízes da equação 3x² + 4x + 1 = 0.
12) Calcule as raízes da equação x² - 3x - 10 = 0.
13) Calcule as raízes da equação 5x² + 2x - 3 = 0.
14) Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = 3x² - 12x + 10.
15) Encontre o eixo de simetria da parábola representada por y = -x² + 6x - 9.

Question

1)	Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas. (Eixo do x)

2)	 Em cada função quadrática dada a seguir, calcule o valor dos coeficientes desconhecidos: 

a) y = x² – bx + 7, sendo y = -1 quando x = 1. 
b) y = -2x² – bx + c, sendo y = -4 quando x = 1 e b + c = 4

3) Encontre os vértices das funções abaixo:
a) f(x) = x² – 13x + 42 
 b) f(x) = -2x² – 5x + 6 
c) f(x) = 3x² + x – 14 
d) f(x) = 5x² – 3x – 2 
e) f(x) = 12 – 2x² = 8x + 2 
f) f(x) = 2x (5 – x) = x² + 3
 g) f(x) = 5x2 – 2x + 1 
 h) f(x) = (x – 1)(3x + 2) 

3)	Sendo f(x) = – x ²+ 4x – 3, calcule:
a)	f (1) =
b)	f ( -2) =
c)	f ( 0) =
d)	f ( -5) =

4)	Determine as raízes ou zeros da função quadrática f(x) = x² – 4x – 5.
5)	Determine o vértice da função quadrática y = 8x² – 3x – 5.
6)	Determine o vértice da função y = -x² + 2x.
7)	 Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = x² - 4x + 3.
8)	 Calcule as raízes da equação x² + 5x + 6 = 0.
9)	 Determine o eixo de simetria da parábola representada por y = 3x² - 12x + 9.
10)	Determine as coordenadas do vértice da parábola y = -4x² + 16x - 15.
11)	 Calcule as raízes da equação 3x² + 4x + 1 = 0.
12)	Calcule as raízes da equação x² - 3x - 10 = 0.
13)	Calcule as raízes da equação 5x² + 2x - 3 = 0.
14)	 Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = 3x² - 12x + 10.
15)	Encontre o eixo de simetria da parábola representada por y = -x² + 6x - 9.

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão uma a uma:

1) **Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1 com o eixo das abscissas.**

Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo das abscissas, devemos resolver a equação $f(x) = 0$:

$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

onde $a = 2$, $b = -3$ e $c = 1$.

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$$

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$$

$$x = \frac{3 \pm 1}{4}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{4}{4} = 1$$
$$x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Portanto, os pontos de interseção são $x = 1$ e $x = \frac{1}{2}$.

2) **Em cada função quadrática dada a seguir, calcule o valor dos coeficientes desconhecidos:**

a) $y = x² - bx + 7$, sendo $y = -1$ quando $x = 1$.

Substituindo na equação:

$$-1 = 1^2 - b \cdot 1 + 7$$

$$-1 = 1 - b + 7$$

$$-1 = 8 - b$$

$$b = 9$$

b) $y = -2x² - bx + c$, sendo $y = -4$ quando $x = 1$ e $b + c = 4$.

Substituindo na equação:

$$-4 = -2 \cdot 1^2 - b \cdot 1 + c$$

$$-4 = -2 - b + c$$

$$c = b - 2$$

Sabendo que $b + c = 4$:

$$b + (b - 2) = 4$$

$$2b - 2 = 4$$

$$2b = 6$$

$$b = 3$$

Substituindo $b = 3$ em $c = b - 2$:

$$c = 3 - 2 = 1$$

3) **Encontre os vértices das funções abaixo:**

Para encontrar o vértice de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, usamos a fórmula do vértice $(h, k)$, onde:

$$h = -\frac{b}{2a}$$
$$k = f(h)$$

a) $f(x) = x² - 13x + 42$

$$h = -\frac{-13}{2 \cdot 1} = \frac{13}{2}$$

$$k = f\left(\frac{13}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}\right)^2 - 13\left(\frac{13}{2}\right) + 42$$

$$k = \frac{169}{4} - \frac{169}{2} + 42$$

$$k = \frac{169}{4} - \frac{338}{4} + \frac{168}{4}$$

$$k = \frac{-1}{4}$$

Vértice: $\left(\frac{13}{2}, -\frac{1}{4}\right)$

b) $f(x) = -2x² - 5x + 6$

$$h = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{4}$$

$$k = f\left(\frac{5}{4}\right) = -2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 6$$

$$k = -2\left(\frac{25}{16}\right) - \frac{25}{4} + 6$$

$$k = -\frac{50}{16} - \frac{100}{16} + \frac{96}{16}$$

$$k = -\frac{54}{16} = -\frac{27}{8}$$

Vértice: $\left(\frac{5}{4}, -\frac{27}{8}\right)$

c) $f(x) = 3x² + x - 14$

$$h = -\frac{1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$$

$$k = f\left(-\frac{1}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right) - 14$$

$$k = 3\left(\frac{1}{36}\right) - \frac{1}{6} - 14$$

$$k = \frac{3}{36} - \frac{6}{36} - \frac{504}{36}$$

$$k = -\frac{507}{36}$$

Vértice: $\left(-\frac{1}{6}, -\frac{507}{36}\right)$

d) $f(x) = 5x² - 3x - 2$

$$h = -\frac{-3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$$

$$k = f\left(\frac{3}{10}\right) = 5\left(\frac{3}{10}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{10}\right) - 2$$

$$k = 5\left(\frac{9}{100}\right) - \frac{9}{10} - 2$$

$$k = \frac{45}{100} - \frac{90}{100} - \frac{200}{100}$$

$$k = -\frac{245}{100} = -\frac{49}{20}$$

Vértice: $\left(\frac{3}{10}, -\frac{49}{20}\right)$

e) $f(x) = 12 - 2x² = 8x + 2$

Primeiro, reescrevemos a função corretamente como $f(x) = -2x^2 + 8x + 14$.

$$h = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$$

$$k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 14$$

$$k = -8 + 16 + 14$$

$$k = 22$$

Vértice: $(2, 22)$

f) $f(x) = 2x(5 - x) = 10x - 2x^2$

Reescrevendo como $f(x) = -2x^2 + 10x$.

$$h = -\frac{10}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{2}$$

$$k = f\left(\frac{5}{2}\right) = -2\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 10\left(\frac{5}{2}\right)$$

$$k = -2\left(\frac{25}{4}\right) + 25$$

$$k = -\frac{50}{4} + 25$$

$$k = 12.5$$

Vértice: $\left(\frac{5}{2}, 12.5\right)$

g) $f(x) = 5x^2 - 2x + 1$

$$h = -\frac{-2}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5}$$

$$k = f\left(\frac{1}{5}\right) = 5\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{5}\right) + 1$$

$$k = \frac{5}{25} - \frac{2}{5} + 1$$

$$k = \frac{5}{25} - \frac{10}{25} + \frac{25}{25}$$

$$k = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$

Vértice: $\left(\frac{1}{5}, \frac{4}{5}\right)$

h) $f(x) = (x - 1)(3x + 2)$

Expansão: $f(x) = 3x^2 + 2x - 3x - 2 = 3x^2 - x - 2$

$$h = -\frac{-1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$

$$k = f\left(\frac{1}{6}\right) = 3\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \frac{1}{6} - 2$$

$$k = \frac{3}{36} - \frac{6}{36} - \frac{72}{36}$$

$$k = -\frac{75}{36}$$

Vértice: $\left(\frac{1}{6}, -\frac{75}{36}\right)$

4) **Sendo f(x) = – x²+ 4x – 3, calcule:**

a) $f(1) = -(1)^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$

b) $f(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) - 3 = -4 - 8 - 3 = -15$

c) $f(0) = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3$

d) $f(-5) = -(-5)^2 + 4(-5) - 3 = -25 - 20 - 3 = -48$

5) **Determine as raízes ou zeros da função quadrática f(x) = x² – 4x – 5.**

Resolvendo $x^2 - 4x - 5 = 0$ usando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \frac{4 \pm 6}{2}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{10}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$

Portanto, as raízes são $x = 5$ e $x = -1$.

6) **Determine o vértice da função quadrática y = 8x² – 3x – 5.**

$$h = -\frac{-3}{2 \cdot 8} = \frac{3}{16}$$

$$k = f\left(\frac{3}{16}\right) = 8\left(\frac{3}{16}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{16}\right) - 5$$

$$k = 8\left(\frac{9}{256}\right) - \frac{9}{16} - 5$$

$$k = \frac{72}{256} - \frac{144}{256} - \frac{1280}{256}$$

$$k = -\frac{1352}{256}$$

Vértice: $\left(\frac{3}{16}, -\frac{1352}{256}\right)$

7) **Determine o vértice da função y = -x² + 2x.**

$$h = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$

$$k = f(1) = -(1)^2 + 2(1)$$

$$k = -1 + 2 = 1$$

Vértice: $(1, 1)$

8) **Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = x² - 4x + 3.**

$$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$

$$k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3$$

$$k = 4 - 8 + 3 = -1$$

Vértice: $(2, -1)$

9) **Calcule as raízes da equação $x² + 5x + 6 = 0$.**

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$$

$$x = \frac{-5 \pm 1}{2}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{-4}{2} = -2$$
$$x_2 = \frac{-6}{2} = -3$$

Portanto, as raízes são $x = -2$ e $x = -3$.

10) **Determine o eixo de simetria da parábola representada por y = 3x² - 12x + 9.**

O eixo de simetria é dado por $x = -\frac{b}{2a}$.

$$x = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2$$

11) **Determine as coordenadas do vértice da parábola y = -4x² + 16x - 15.**

$$h = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = 2$$

$$k = f(2) = -4(2)^2 + 16(2) - 15$$

$$k = -16 + 32 - 15 = 1$$

Vértice: $(2, 1)$

12) **Calcule as raízes da equação $3x² + 4x + 1 = 0$.**

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{6}$$

$$x = \frac{-4 \pm 2}{6}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-6}{6} = -1$$

Portanto, as raízes são $x = -\frac{1}{3}$ e $x = -1$.

13) **Calcule as raízes da equação $x² - 3x - 10 = 0$.**

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$$

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$$

$$x = \frac{3 \pm 7}{2}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{10}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$

Portanto, as raízes são $x = 5$ e $x = -2$.

14) **Calcule as raízes da equação $5x² + 2x - 3 = 0$.**

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5}$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10}$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{10}$$

$$x = \frac{-2 \pm 8}{10}$$

As soluções são:

$$x_1 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$
$$x_2 = \frac{-10}{10} = -1$$

Portanto, as raízes são $x = \frac{3}{5}$ e $x = -1$.

15) **Determine o vértice da parábola representada pela função f(x) = 3x² - 12x + 10.**

$$h = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2$$

$$k = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 10$$

$$k = 12 - 24 + 10 = -2$$

Vértice: $(2, -2)$

16) **Encontre o eixo de simetria da parábola representada por y = -x² + 6x - 9.**

O eixo de simetria é dado por $x = -\frac{b}{2a}$.

$$x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$

1) Determine os pontos de intersecção da parábola da função ...

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