1) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

(a) y' + y = cos(et).
(b) y' + 2y' + y = e^{-x} ln x.
(c) x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2 ln x em que y_1(x) = x^2 e y_2(x) = x^2 ln x são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Respostas:

Question

1) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

(a) y' + y = cos(et).
(b) y' + 2y' + y = e^{-x} ln x.
(c) x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2 ln x em que y_1(x) = x^2 e y_2(x) = x^2 ln x são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Respostas:

Accepted Answer

Para resolver as equações diferenciais dadas, vamos abordar cada uma separadamente.

### (a) $ y'' + y = \csc t $

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar a solução complementar ($y_c$) e a solução particular ($y_p$).

1. **Solução Complementar ($y_c$):**
   - A equação homogênea associada é $ y'' + y = 0 $.
   - A equação característica é $ r^2 + 1 = 0 $, cujas raízes são $ r = \pm i $.
   - Assim, a solução complementar é $ y_c = C_1 \cos t + C_2 \sin t $.

2. **Solução Particular ($y_p$):**
   - Podemos tentar uma solução por variação de parâmetros ou outro método específico para funções trigonométricas.

3. **Solução Geral:**
   - A solução geral é $ y = y_c + y_p $.

### (b) $ y'' + 2y' + y = e^{-x} \ln x $

1. **Solução Complementar ($y_c$):**
   - A equação homogênea associada é $ y'' + 2y' + y = 0 $.
   - A equação característica é $ r^2 + 2r + 1 = 0 $, que tem uma raiz dupla $ r = -1 $.
   - Assim, a solução complementar é $ y_c = (C_1 + C_2 x) e^{-x} $.

2. **Solução Particular ($y_p$):**
   - Uma abordagem comum é usar o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.

3. **Solução Geral:**
   - A solução geral é $ y = y_c + y_p $.

### (c) $ x^2 y'' - 3xy' + 4y = x^2 \ln x $

Dado que $ y_1(x) = x^2 $ e $ y_2(x) = x^2 \ln x $ são soluções fundamentais da equação homogênea associada:

1. **Solução Complementar ($y_c$):**
   - $ y_c = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln x $.

2. **Solução Particular ($y_p$):**
   - Como o lado direito é similar a $ y_2(x) $, usamos o método de variação de parâmetros ou tentamos uma forma adequada multiplicada por $ \ln x $.

3. **Solução Geral:**
   - A solução geral é $ y = y_c + y_p $.

Para obter a solução particular exata em cada caso, métodos específicos como variação de parâmetros ou coeficientes indeterminados devem ser aplicados conforme a função não homogênea.

1) Encontre a solução geral da equação diferencial dada. (a...

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

(a) y' + y = cos(et). (b) y' + 2y' + y = e^{-x} ln x. (c) x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2 ln x em que y_1(x) = x^2 e y_2(x) = x^2 ln x são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Respostas:

Ask a question and receive an answer instantly

1) Encontre a solução geral da equação diferencial dada. (a...

Encontre a solução geral da equação diferencial dada. (a) y' + y = cos(et). (b) y' + 2y' + y = e^{-x} ln x. (c) x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2 ln x em que y_1(x) = x^2 e y_2(x) = x^2 ln x são soluções fundamentais da equação homogênea associada. Respostas:

Ask a question and receive an answer instantly

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

(a) y' + y = cos(et). (b) y' + 2y' + y = e^{-x} ln x. (c) x^2y'' - 3xy' + 4y = x^2 ln x em que y_1(x) = x^2 e y_2(x) = x^2 ln x são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Respostas: