1. Factoro las siguientes expresiones:

a) x^9 - 1

b) x^4 - 13x^2 + 36

c) a^2 + 6b^2 + 3a + 36 + 2ab - 28

d) 6x^2 + 23xy + 20y^2 + 13xz + 22yz + 6z^2

Question

1. Factoro las siguientes expresiones:

a) x^9 - 1

b) x^4 - 13x^2 + 36

c) a^2 + 6b^2 + 3a + 36 + 2ab - 28

d) 6x^2 + 23xy + 20y^2 + 13xz + 22yz + 6z^2

Accepted Answer

Claro, vamos a factorizar cada expresión paso a paso.

### a) $ x^9 - 1 $

Esta es una diferencia de potencias. Podemos usar la identidad de diferencia de cubos y luego seguir factorizando:

1. $ x^9 - 1 = (x^3)^3 - 1^3 $
2. Usamos la fórmula de diferencia de cubos: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
3. Aplicamos: 
   $$
   (x^3 - 1)((x^3)^2 + x^3 \cdot 1 + 1^2) = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)
   $$
4. Factorizamos $ x^3 - 1 $ usando la misma fórmula:
   $$
   x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
   $$
5. La factorización completa es:
   $$
   (x-1)(x^2 + x + 1)(x^6 + x^3 + 1)
   $$

### b) $ x^4 - 13x^2 + 36 $

Esto es un trinomio cuadrado perfecto en términos de $ x^2 $.

1. Sustituimos $ y = x^2 $, entonces tenemos $ y^2 - 13y + 36 $.
2. Buscamos dos números que multiplicados den 36 y sumados den -13: -4 y -9.
3. Factorizamos:
   $$
   (y - 4)(y - 9)
   $$
4. Sustituimos $ y = x^2 $ de nuevo:
   $$
   (x^2 - 4)(x^2 - 9)
   $$
5. Factorizamos cada término:
   $$
   (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)
   $$

### c) $ a^2 + b^2 + 3a + 3b + 2ab - 28 $

Reorganizamos y agrupamos para completar cuadrados:

1. Reorganizamos: $ (a^2 + 3a) + (b^2 + 3b) + 2ab - 28 $
2. Completamos cuadrados:
   $$
   (a^2 + 3a + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + (b^2 + 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2ab - 28
   $$
3. Agrupamos:
   $$
   \left(a + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(b + \frac{3}{2}\right)^2 + 2ab - \frac{9}{2} - 28
   $$
4. Simplificamos:
   $$
   \left(a + \frac{3}{2} + b + \frac{3}{2}\right)^2 - 28
   $$
5. Factorización final:
   $$
   (a+b+3)^2 - 28
   $$

### d) $ 6x^2 + 23xy + 20y^2 + 13xz + 22yz + 6z^2 $

1. Agrupamos términos:
   $$
   (6x^2 + 23xy + 20y^2) + (13xz + 22yz + 6z^2)
   $$
2. Factorizamos cada parte:
   - Primer grupo: No se puede factorizar fácilmente por ser un trinomio complicado.
   - Segundo grupo: Factor común:
     $$
     z(13x + 22y + 6z)
     $$
3. Intentamos combinar términos para simplificar, pero no hay una factorización evidente. Podría requerir técnicas avanzadas o corrección del problema.

Si necesitas más detalles sobre cualquiera de estos pasos, házmelo saber.