1. Mostre que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC é igual à metade da hipotenusa. Dados A(0,0), B(a, 0) e C(0, b).

Para mostrar que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo $ABC$ é igual à metade da hipotenusa, podemos seguir os seguintes passos:

1. Identificar os pontos e a hipotenusa: Dado um triângulo retângulo $ABC$ com vértices em $A(0,0)$, $B(a, 0)$, e $C(0, b)$, sua hipotenusa é o segmento que liga $B$ a $C$.

2. Calcular o ponto médio da hipotenusa: O ponto médio $M$ da hipotenusa pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos pontos $B$ e $C$. Então, as coordenadas de $M$ são:

$$M = \left(\frac{a + 0}{2}, \frac{b + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$

1. Demonstrar que a mediana é metade da hipotenusa: A mediana do triângulo relativa à hipotenusa é o segmento que liga o ponto $A$ ao ponto médio $M$ da hipotenusa. A distância entre dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $M(x_2, y_2)$ é dada por:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Substituindo $A(0,0)$ e $M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$, obtemos:

$$d = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$ $$d = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}$$

Agora, calculamos a distância da hipotenusa $BC$, que é a distância entre os pontos $B(a, 0)$ e $C(0, b)$:

$$d_{BC} = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Comparando a mediana $d$ com a hipotenusa $d_{BC}$, notamos que:

$$d = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2}d_{BC}$$

Portanto, demonstramos que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo $ABC$ é exatamente metade da hipotenusa.