Para resolver o problema, podemos usar a Lei dos Cossenos. No triângulo $\triangle ABC$, temos:

• $AB = 10 \, \text{cm}$
• Ângulo $A = 60^\circ$
• Ângulo $B = 45^\circ$

Queremos encontrar $AC = x$.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$. Assim, o ângulo $C$ é:

$$C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$$

Usando a Lei dos Cossenos:

$$x^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C)$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$x^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(75^\circ)$$

Sabemos que $\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ ou aproximadamente $0,2588$.

$$x^2 = 100 + 100 - 200 \cdot 0,2588$$ $$x^2 = 200 - 51.76$$ $$x^2 = 148.24$$ $$x \approx \sqrt{148.24} \approx 12.17$$

Portanto, a opção mais próxima é b) 12,2 cm.