1. Noção de número natural Ao comparar conjuntos, verifica-s...

1. Noção de número natural Ao comparar conjuntos, verifica-se os que com as mesmas quantidades de elementos (conjuntos equipotentes) podem ser postos em relação biunívoca, ou seja, uma relação de "um para um". O homem primitivo em decorrência de necessidade básica de contar quantidades dos mais diversos objetos recorria intuitivamente a esse processo de comparar conjuntos equipotentes. Dessa forma, na Antiguidade, o processo de relacionar e comparar as quantidades de elementos levou ao surgimento de um longo processo histórico, e conjuntos dos números naturais começaram a ser representados por: N = {1, 2, 3,...}

2. Operações com números naturais Dados dois números naturais quaisquer a e b, diz-se que existem apenas duas operações bem definidas dentro do conjunto dos números naturais, a soma e a multiplicação. Logo, a + b ∈ N e a × b ∈ N.

2.1 Adição Em uma adição, os termos chamam-se parcelas, e o resultado chama-se soma.

2.1.1 Propriedades da adição I. Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, a + b = b + a com a e b naturais. II. Associativa: Dados os naturais a, b e c, temos que (a + b) + c = a + (b + c). III. Elemento neutro: Ao adicionar zero a qualquer número natural, obtém-se o próprio número. Dessa forma, dado a um natural qualquer, a + 0 = a.

2.2 Multiplicação Sejam a, b e c números naturais quaisquer, então a × b = c. Os números que compõem a multiplicação chamam-se fatores (a e b); o primeiro é o multiplicando (a), o segundo o multiplicador (b); e o resultado chama-se produto (c).

2.2.1 Propriedades da multiplicação I. Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a × b = b × a com a e b naturais. II. Associativa: Dados os naturais a, b e c, temos que (a × b) × c = a × (b × c). III. Elemento neutro: Ao multiplicar por um qualquer número natural, obtém-se o próprio número. Dessa forma, dado a um natural qualquer, a × 1 = a. IV. Distributiva: Sejam os números naturais a, b e c, então a × (b + c) = a × b + a × c.

3. Números inteiros Com o passar do tempo e a evolução dos povos, os números naturais foram ampliados para os números inteiros, que incluem os números negativos. Assim, os números inteiros são representados por Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.

4. Operações com números inteiros Observe-se que N ⊆ Z. Dessa forma, a soma e a multiplicação estão bem definidas para os conjuntos dos números inteiros, e a subtração será restrita a um conjunto. Portanto, dados os números inteiros a e b, podemos realizar as operações:

4.1 Subtração Em uma subtração entre dois termos, o primeiro chama-se minuendo, o segundo o subtraendo, e o resultado é o resto da diferença. Com efeito, temos que a - b = a + (-b).

4.2 Módulo de um número inteiro Seja x um número inteiro qualquer; representa-se o módulo valor absoluto de x por |x|. Define-se o módulo do inteiro como: |x| = -x, caso x < 0 |x| = x, caso x ≥ 0.