1. Num tubo de raios $ X $, um elétron acelerado pode ceder toda a sua energia cinética emitindo um único fóton, correspondente à radiação $ X $. Suponha que esse seja o caso de um elétron com energia cinética de $ 50 \mathrm{keV} $. Determine:
a. A velocidade do elétron;
b. A velocidade do fóton de raios $ X $ emitido nesse processo;
c. O comprimento de onda da radiação $ X $ produzida;
Observação: suponha que o elétron pode ser tratado como particula não-relativistica nesse problema.

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos abordar cada parte separadamente.

### a. Velocidade do elétron

A energia cinética ($ E_k $) de um elétron é dada por:

$$ E_k = \frac{1}{2} m_e v^2 $$

onde:
- $ E_k = 50 \ \mathrm{keV} = 50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} \ \mathrm{J} $
- $ m_e $ é a massa do elétron, $ m_e \approx 9.109 \times 10^{-31} \ \mathrm{kg} $

Vamos resolver para $ v $:

$$ 50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} = \frac{1}{2} \times 9.109 \times 10^{-31} \times v^2 $$

$$ v^2 = \frac{2 \times 50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19}}{9.109 \times 10^{-31}} $$

$$ v^2 \approx \frac{1.602 \times 10^{-15}}{9.109 \times 10^{-31}} $$

$$ v^2 \approx 3.52 \times 10^{15} $$

$$ v \approx \sqrt{3.52 \times 10^{15}} $$

$$ v \approx 1.88 \times 10^7 \ \mathrm{m/s} $$

### b. Velocidade do fóton de raios $ X $ emitido

A velocidade de qualquer fóton, incluindo os de raios $ X $, é a velocidade da luz no vácuo, que é:

$$ c = 3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s} $$

### c. Comprimento de onda da radiação $ X $ produzida

A energia do fóton ($ E $) é relacionada ao comprimento de onda ($ \lambda $) pela equação de Planck:

$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$

onde:
- $ h $ é a constante de Planck, $ h \approx 6.626 \times 10^{-34} \ \mathrm{Js} $
- $ c $ é a velocidade da luz, $ c = 3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s} $
- $ E = 50 \ \mathrm{keV} = 50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} \ \mathrm{J} $

Vamos resolver para $ \lambda $:

$$ 50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{\lambda} $$

$$ \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{50 \times 10^3 \times 1.602 \times 10^{-19}} $$

$$ \lambda \approx \frac{1.9878 \times 10^{-25}}{8.01 \times 10^{-15}} $$

$$ \lambda \approx 2.48 \times 10^{-11} \ \mathrm{m} $$

Portanto, as respostas são:

a. A velocidade do elétron é aproximadamente $ 1.88 \times 10^7 \ \mathrm{m/s} $.

b. A velocidade do fóton de raios $ X $ emitido é $ 3 \times 10^8 \ \mathrm{m/s} $.

c. O comprimento de onda da radiação $ X $ produzida é aproximadamente $ 2.48 \times 10^{-11} \ \mathrm{m} $.

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