1. Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm . Calcular:
a) raio da base
b) a aresta da base
c) a altura e o apótema da pirâmide.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos dividir em partes e calcular cada um dos itens pedidos.

### a) Raio da base

Para uma pirâmide triangular regular, a base é um triângulo equilátero. O apótema da base (que é a altura do triângulo equilátero a partir de um vértice até o centro da base) é dado como 3 cm. O raio da base é a distância do centro da base até um vértice do triângulo equilátero (circunraio).

No triângulo equilátero, o apótema $a$ e o circunraio $R$ estão relacionados pela fórmula:
$$ R = \frac{2}{3} \times h $$

Onde $h$ é a altura do triângulo equilátero. Sabemos que:
$$ a = \frac{\sqrt{3}}{6} \times l $$
$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times l $$

Dado que o apótema $a = 3$ cm, podemos encontrar a aresta da base $l$:

$$ 3 = \frac{\sqrt{3}}{6} \times l $$
$$ l = \frac{3 \times 6}{\sqrt{3}} $$
$$ l = \frac{18}{\sqrt{3}} $$
$$ l = 6\sqrt{3} $$

Agora, podemos encontrar o circunraio $R$:
$$ R = \frac{2}{3} \times h $$
$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times l $$
$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6\sqrt{3} $$
$$ h = 3 \times 3 $$
$$ h = 9 $$

Portanto:
$$ R = \frac{2}{3} \times 9 $$
$$ R = 6 \text{ cm} $$

### b) Aresta da base

Já encontramos a aresta da base no cálculo anterior:
$$ l = 6\sqrt{3} \text{ cm} $$

### c) Altura e apótema da pirâmide

Para encontrar a altura $H$ da pirâmide, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura da pirâmide, o apótema da base e a aresta lateral.

A aresta lateral $L$ é dada como 10 cm. O apótema da base é 3 cm. Então, temos:
$$ L^2 = H^2 + a^2 $$
$$ 10^2 = H^2 + 3^2 $$
$$ 100 = H^2 + 9 $$
$$ H^2 = 91 $$
$$ H = \sqrt{91} \text{ cm} $$

O apótema da pirâmide $A_p$ pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo apótema da pirâmide, a altura da pirâmide e o raio da base:
$$ A_p^2 = H^2 + R^2 $$
$$ A_p^2 = (\sqrt{91})^2 + 6^2 $$
$$ A_p^2 = 91 + 36 $$
$$ A_p^2 = 127 $$
$$ A_p = \sqrt{127} \text{ cm} $$

Resumindo:
a) Raio da base: $6 \text{ cm}$
b) Aresta da base: $6\sqrt{3} \text{ cm}$
c) Altura da pirâmide: $\sqrt{91} \text{ cm}$
   Apótema da pirâmide: $\sqrt{127} \text{ cm}$

1. Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 1...

Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm . Calcular: a) raio da base b) a aresta da base c) a altura e o apótema da pirâmide.

Ask a question and receive an answer instantly