1. O triângulo ABC é retângulo em A e tem catetos medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E e F são tomados em AB, BC e AC, respectivamente, de tal forma que ADEF é um quadrado. A área desse quadrado, em cm, vale
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Ana
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13/11/24

Question

1. O triângulo ABC é retângulo em A e tem catetos medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E e F são tomados em AB, BC e AC, respectivamente, de tal forma que ADEF é um quadrado. A área desse quadrado, em cm, vale

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13/11/24

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar o triângulo retângulo $ABC$ com catetos $AB = 12 \, \text{cm}$ e $AC = 24 \, \text{cm}$.

1. Primeiro, calculamos a hipotenusa $BC$ usando o teorema de Pitágoras:

$$
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 24^2} = \sqrt{144 + 576} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \, \text{cm}
$$

2. Os pontos $D$, $E$ e $F$ são tomados em $AB$, $BC$ e $AC$, respectivamente, de forma que $ADEF$ é um quadrado.

3. Como $ADEF$ é um quadrado, os segmentos $AD$, $DE$, $EF$ e $FA$ são iguais. Vamos chamar o lado do quadrado de $x$.

4. Observe que $AD = x$, $DE = x$, $EF = x$ e $FA = x$.

5. Como $AD = x$ está em $AB$, temos $x \leq 12$.

6. Como $FA = x$ está em $AC$, temos $x \leq 24$.

7. Como $DE = x$ está em $BC$, temos $x \leq 12\sqrt{5}$.

8. O maior valor possível para $x$ que satisfaz todas as condições é $x = 12$.

9. A área do quadrado é $x^2 = 12^2 = 144 \, \text{cm}^2$.

Portanto, a área do quadrado $ADEF$ é $144 \, \text{cm}^2$.