1. Prove que, na presença dos axiomas P1 e P2, o axioma (A) ...

1. Prove que, na presença dos axiomas P1 e P2, o axioma (A) abaixo é equivalente a P3. (A) Para todo subconjunto não-vazio A ⊂ N, tem-se A − s(A) ≠ ∅.

2. Dados os números naturais a, b, prove que existe um número natural m tal que m · a > b.

3. Seja a um número natural. Se um conjunto X ⊆ tal que a ∈ X e, além disso, n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X, então X contém todos os números naturais ≥ a.

4. Tente descobrir, independentemente, algumas demonstrações distintas do texto. Caso não consiga alguma, consulte uns dos livros aqui citados, ou outros de sua preferência. [Sugestão: Praticamente todas as proposições sobre N são demonstradas por indução.]

5. Um elemento a ∈ N chama-se antecessor de b ∈ N quando se tem a < b mas não existe c ∈ N tal que c < a < b. Prove que, exceto 1, todo número natural possui um antecessor.

6. Use indução para demonstrar os seguintes fatos:

a) 2(1 + 2 + · · · + n) = n(n + 1); b) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1)²; c) (a − 1)(a + 1 + · · · + an) = an+1 − a; d) n ≥ 4 ⇒ n! > n².

7. Use o Segundo Princípio da Indução para demonstrar a unicidade da decomposição de um número natural em fatores primos.

8. Seja X um conjunto com n elementos. Use indução para provar que o número de bijeções (ou permutações) f: X → X tem n! elementos.

9. Sejam X e Y conjuntos.

10. Dado um conjunto finito X, prove que uma função f: X → Y é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva (e portanto bijetiva).