1- Qual é o número x que deve ser somado aos números a − 2, a + x e a + 3 para que a − 2 + x, a + x e a + 3 formem uma P.G?
2- Sabendo que x, x + 9 e x + 45 estão em P.G., determine o valor de x.
3- A sequência (x+ 1, x + 3, x + 4, …) é uma P.G. Calcule o seu quarto termo.
4- Se a sequência (4x, 2x + 1, x − 1) é uma P.G., determine o valor de x.
5- Há 10 anos o preço de certa mercadoria era de 1 + x reais. Há 5 anos era de 13 + x reais e hoje é 49 + x reais. Sabendo que tal aumento deu-se em progressão geométrica de 5 em 5 anos, determine a razão do aumento.

6- Determine três números reais em P.G. de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64.

7- Obtenha a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300.
8- Determine cinco números racionais em P.G., sabendo que sua soma é 121/3 e seu produto é 243.
9- Numa progressão geométrica de seis termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determine a progressão.
10- Obtenha o 100° termo da P.G. (2, 6, 18, …).
11- Calcule o 21° termo da sequência (1, 0, 3, 0, 9, 0, …).
12-

. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … .

13- Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série 1 + 3 + 9 + 27 + ...

Question

1- Qual é o número x que deve ser somado aos números a − 2, a + x e a + 3 para que a − 2 + x, a + x e a + 3 formem uma P.G?
2- Sabendo que x, x + 9 e x + 45 estão em P.G., determine o valor de x.
3- A sequência (x+ 1, x + 3, x + 4, …) é uma P.G. Calcule o seu quarto termo.
4- Se a sequência (4x, 2x + 1, x − 1) é uma P.G., determine o valor de x.
5- Há 10 anos o preço de certa mercadoria era de 1 + x reais. Há 5 anos era de 13 + x reais e hoje é 49 + x reais. Sabendo que tal aumento deu-se em progressão geométrica de 5 em 5 anos, determine a razão do aumento.

6- Determine três números reais em P.G. de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64.

7- Obtenha a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300.
8- Determine cinco números racionais em P.G., sabendo que sua soma é 121/3 e seu produto é 243.
9- Numa progressão geométrica de seis termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem par é 546. Determine a progressão.
10- Obtenha o 100° termo da P.G. (2, 6, 18, …).
11- Calcule o 21° termo da sequência (1, 0, 3, 0, 9, 0, …).
12-

. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … .

13- Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série 1 + 3 + 9 + 27 + ...

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão:

1. Para que $a - 2, a + x, a + 3 + x$ formem uma P.G., a razão entre os termos consecutivos deve ser a mesma. Assim, temos:
   $$
   \frac{a + x}{a - 2} = \frac{a + 3 + x}{a + x}
   $$
   Resolva essa equação para encontrar $x$.

2. Os termos $x, x + 9, x + 45$ estão em P.G., então:
   $$
   (x + 9)^2 = x \cdot (x + 45)
   $$
   Resolva essa equação para encontrar $x$.

3. A sequência $(x + 1, x - 3, x + 4, \ldots)$ é uma P.G. Para encontrar o quarto termo, primeiro encontre a razão da P.G.:
   $$
   \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{x + 4}{x - 3}
   $$
   Após encontrar a razão, use-a para calcular o quarto termo.

4. Se a sequência $(4x, 2x + 1, x - 1)$ é uma P.G., então:
   $$
   (2x + 1)^2 = 4x \cdot (x - 1)
   $$
   Resolva para encontrar $x$.

5. O preço da mercadoria segue uma progressão geométrica. Temos:
   - $1 + x$, $13 + x$, $49 + x$.
   Use a fórmula da P.G. para encontrar a razão.

6. Três números reais em P.G. têm soma $ \frac{21}{8} $ e a soma dos seus quadrados é $ \frac{189}{64} $. Denote os números como $a, ar, ar^2$ e resolva o sistema de equações.

7. Quatro elementos em P.G. com a soma dos dois primeiros igual a 12 e a soma dos dois últimos igual a 300. Denote os termos como $a, ar, ar^2, ar^3$ e resolva o sistema.

8. Cinco números racionais em P.G. têm soma $ \frac{121}{3} $ e produto 243. Denote os termos como $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ e resolva o sistema.

9. Seis termos em P.G. com soma dos termos de ordem ímpar igual a 182 e dos pares igual a 546. Denote os termos e resolva o sistema.

10. O 100º termo da P.G. $(2, 6, 18, \ldots)$ é dado por:
    $$
    a_n = ar^{n-1}
    $$
    Calcule usando $a = 2$ e $r = 3$.

11. O 21º termo da sequência $(1, 0, 3, 0, 9, 0, \ldots)$ segue um padrão. Identifique o padrão e calcule o termo.

12. Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$. É uma P.G. com $a = 1$ e $r = \frac{1}{2}$.

13. Calcule a soma dos 20 termos iniciais da série $1 + 3 + 9 + 27 + \ldots$. É uma P.G. com $a = 1$ e $r = 3$.

Se precisar de mais detalhes sobre algum cálculo específico, me avise!

1- Qual é o número x que deve ser somado aos números a − 2, ...

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