1-Qual o volume de uma esfera inscrita em um cubo cuja área total seja igual a 216 m??

2-Qual o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja soma das medidas de suas arestas é
24 m?

Question

1-Qual o volume de uma esfera inscrita em um cubo cuja área total seja igual a 216 m??

2-Qual o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja soma das medidas de suas arestas é
24 m?

Accepted Answer

Para resolver esses problemas, vamos utilizar as propriedades geométricas de esferas e cubos.

### Problema 1:

1. **Encontrar a aresta do cubo:**

A área total de um cubo é dada por $6a^2$, onde $a$ é a medida da aresta do cubo. Assim, temos:
   
   $$
   6a^2 = 216
   $$

Dividindo ambos os lados por 6, obtemos:

$$
   a^2 = 36
   $$

Portanto, a aresta do cubo é:

$$
   a = \sqrt{36} = 6 \text{ m}
   $$

2. **Calcular o raio da esfera inscrita:**

O raio $r$ da esfera inscrita em um cubo é igual à metade da aresta do cubo:

$$
   r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ m}
   $$

3. **Calcular o volume da esfera:**

O volume $V$ de uma esfera é dado por:

$$
   V = \frac{4}{3} \pi r^3
   $$

Substituindo $r = 3$:

$$
   V = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi \text{ m}^3
   $$

### Problema 2:

1. **Encontrar a aresta do cubo:**

A soma das medidas das arestas de um cubo é dada por $12a$. Assim, temos:

$$
   12a = 24
   $$

Dividindo ambos os lados por 12, obtemos:

$$
   a = 2 \text{ m}
   $$

2. **Calcular o raio da esfera circunscrita:**

O raio $R$ da esfera circunscrita a um cubo é igual à metade da diagonal do cubo. A diagonal $d$ do cubo é dada por:

$$
   d = a\sqrt{3}
   $$

Portanto, o raio $R$ é:

$$
   R = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ m}
   $$

3. **Calcular o volume da esfera:**

O volume $V$ de uma esfera é dado por:

$$
   V = \frac{4}{3} \pi R^3
   $$

Substituindo $R = \sqrt{3}$:

$$
   V = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\pi \text{ m}^3
   $$

Portanto, os volumes são:

1. Volume da esfera inscrita: $36\pi \text{ m}^3$
2. Volume da esfera circunscrita: $4\sqrt{3}\pi \text{ m}^3$

1-Qual o volume de uma esfera inscrita em um cubo cuja área ...