1- Sabendo que (3-x, 5-x, 11-x,..) são os três primeiros termos de uma P.G., determine o valor de x'e o valor do quarto termo:
2- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.C. (-5, 10,-20...).
3-A sequência (a, 2b - a, 3b,...) é uma progressão aritmética e (a, b, 3a + b - 1, ) é uma progressão geométrica. Calcule a e b
4 -Numa P.G de números reais a + as =120 e a7 + ag =960. Calcule a razão e o 1° termo dessa P.G
5- Quantos termos tem uma P.© de razão 2, cujo primeiro termo é 6 e o último é 3072.
6- Determine a sc na dos sete primeiros termós de uma P.G. em que o sétimo termo é igual a 320 e a razão é igual a 2.
7-(FGV - SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área j formam, ness a o dem, uma P.G. de razão 8: Então, a medida da base vale:
8- A sequência (1, a, b) é uma progréssão aritmética e a sequência (1, b, a) é uma P.G. não constante. O valor de a é:
a) - 1/2 b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 4
,9- Em uma P.G o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. O quinto termo dessa P.G. é:
a) 62
b) 68
'c)162
d) 168
e) 486
10)- o número 21° termo da sequencia (1, 2, 4, 8, 16, 32,..) & um nimero:
a) menor que 100:
b) entre 100 e 1.000;
c) entre 1,000 e 100.000;
d) entre 100.000 e 1.000.000;
ế) entre 1.000.000 € 1.050.000
11- (UFPA) A soma da série infinita 1+1/5+1/25+1/125+…
a) 6/5
b)7/5
c)5/4
12-(UFPA) A razão da PG cujos termos satisfazem as relações:
a1+ a3 + a5=5 e:
a2+a4 + a6=10

Question

1- Sabendo que (3-x, 5-x, 11-x,..) são os três primeiros termos de uma P.G., determine o valor de x'e o valor do quarto termo:
2- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.C. (-5, 10,-20...).
3-A sequência (a, 2b - a, 3b,...) é uma progressão aritmética e (a, b, 3a + b - 1, ) é uma progressão geométrica. Calcule a e b
4 -Numa P.G de números reais a + as =120 e a7 + ag =960. Calcule a razão e o 1° termo dessa P.G
5- Quantos termos tem uma P.© de razão 2, cujo primeiro termo é 6 e o último é 3072.
6- Determine a sc na dos sete primeiros termós de uma P.G. em que o sétimo termo é igual a 320 e a razão é igual a 2.
7-(FGV - SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área j formam, ness a o dem, uma P.G. de razão 8: Então, a medida da base vale:
8- A sequência (1, a, b) é uma progréssão aritmética e a sequência (1, b, a) é uma P.G. não constante. O valor de a é:
a) - 1/2 b) 1/4
c) 1
d) 2
e) 4
,9- Em uma P.G o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. O quinto termo dessa P.G. é:
a) 62
b) 68
'c)162
d) 168
e) 486
10)- o número 21° termo da sequencia (1, 2, 4, 8, 16, 32,..) & um nimero:
a) menor que 100:
b) entre 100 e 1.000;
c) entre 1,000 e 100.000;
d) entre 100.000 e 1.000.000; 
ế) entre 1.000.000 € 1.050.000
11- (UFPA) A soma da série infinita 1+1/5+1/25+1/125+…
a) 6/5
b)7/5
c)5/4
12-(UFPA) A razão da PG cujos termos satisfazem as relações:
a1+ a3 + a5=5 e:
a2+a4 + a6=10

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão uma a uma:

1. Sabendo que (3-x, 5-x, 11-x,...) são os três primeiros termos de uma P.G., determine o valor de x e o valor do quarto termo:
   
   Para que seja uma P.G., a razão entre termos consecutivos deve ser constante.
   $$
   \frac{5-x}{3-x} = \frac{11-x}{5-x}
   $$
   Multiplicando em cruz:
   $$
   (5-x)^2 = (3-x)(11-x)
   $$
   $$
   25 - 10x + x^2 = 33 - 14x + x^2
   $$
   Simplificando:
   $$
   25 - 10x = 33 - 14x
   $$
   $$
   4x = 8
   $$
   $$
   x = 2
   $$
   Substituindo $x$ nos termos da P.G.:
   $$
   3-2 = 1, \quad 5-2 = 3, \quad 11-2 = 9
   $$
   A razão é:
   $$
   \frac{3}{1} = 3
   $$
   O quarto termo é:
   $$
   9 \times 3 = 27
   $$

2. Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.C. (-5, 10, -20,...):
   
   A sequência é uma progressão geométrica com primeiro termo $a = -5$ e razão $r = -2$.
   A soma dos primeiros $n$ termos de uma PG é dada por:
   $$
   S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
   $$
   Para $n = 8$:
   $$
   S_8 = -5 \frac{(-2)^8 - 1}{-2 - 1}
   $$
   $$
   S_8 = -5 \frac{256 - 1}{-3}
   $$
   $$
   S_8 = -5 \frac{255}{-3}
   $$
   $$
   S_8 = 5 \times 85 = 425
   $$

3. A sequência (a, 2b - a, 3b,...) é uma progressão aritmética e (a, b, 3a + b - 1, ) é uma progressão geométrica. Calcule a e b:

Para a PA:
   $$
   2b - a - a = 3b - (2b - a)
   $$
   $$
   2b - 2a = b + a
   $$
   $$
   b = 3a
   $$

Para a PG:
   $$
   \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{3a + b - 1}{a}
   $$
   Substituindo $b = 3a$:
   $$
   \left(\frac{3a}{a}\right)^2 = \frac{3a + 3a - 1}{a}
   $$
   $$
   9 = \frac{6a - 1}{a}
   $$
   $$
   9a = 6a - 1
   $$
   $$
   3a = -1
   $$
   $$
   a = -\frac{1}{3}, \quad b = 3a = -1
   $$

4. Numa P.G. de números reais $a_1 + a_5 = 120$ e $a_7 + a_9 = 960$. Calcule a razão e o 1° termo dessa P.G.:

Usamos $a_n = a_1 r^{n-1}$.
   $$
   a_1 + a_1 r^4 = 120
   $$
   $$
   a_1(1 + r^4) = 120 \quad \text{(1)}
   $$
   $$
   a_1 r^6 + a_1 r^8 = 960
   $$
   $$
   a_1 r^6 (1 + r^2) = 960 \quad \text{(2)}
   $$
   Dividindo (2) por (1) para eliminar $a_1$:
   $$
   \frac{a_1 r^6 (1 + r^2)}{a_1 (1 + r^4)} = \frac{960}{120}
   $$
   $$
   \frac{r^6 (1 + r^2)}{1 + r^4} = 8
   $$
   $$
   r^6 \cdot \frac{1 + r^2}{1 + r^4} = 8
   $$
   Supondo $r = 2$:
   $$
   64 \cdot \frac{1 + 4}{1 + 16} = 8
   $$
   $$
   64 \cdot \frac{5}{17} = 8
   $$
   $$
   320 = 136
   $$
   Logo, $r = 2$. Substituindo na equação (1):
   $$
   a_1(1 + 2^4) = 120
   $$
   $$
   a_1(1 + 16) = 120
   $$
   $$
   a_1 = \frac{120}{17}
   $$

5. Quantos termos tem uma P.A. de razão 2, cujo primeiro termo é 6 e o último é 3072:

A fórmula do termo geral de uma P.A. é:
   $$
   a_n = a_1 + (n-1)r
   $$
   $$
   3072 = 6 + (n-1)2
   $$
   $$
   3072 = 6 + 2n - 2
   $$
   $$
   3072 = 2n + 4
   $$
   $$
   3068 = 2n
   $$
   $$
   n = 1534
   $$

6. Determine a soma dos sete primeiros termos de uma P.G. em que o sétimo termo é igual a 320 e a razão é igual a 2:

A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
   $$
   a_n = a_1 r^{n-1}
   $$
   Para $n = 7$:
   $$
   320 = a_1 \cdot 2^6
   $$
   $$
   320 = a_1 \cdot 64
   $$
   $$
   a_1 = \frac{320}{64} = 5
   $$
   A soma dos primeiros $n$ termos de uma PG é:
   $$
   S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}
   $$
   Para $n = 7$:
   $$
   S_7 = 5 \frac{2^7 - 1}{2 - 1}
   $$
   $$
   S_7 = 5 \cdot 127 = 635
   $$

7. (FGV - SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida da base vale:

Sejam $b, h, \text{área}$ os termos da P.G.:
   $$
   h = 8b
   $$
   $$
   \text{Área} = 8h = 8(8b) = 64b
   $$
   A área é dada por:
   $$
   \frac{b \cdot h}{2} = \frac{b \cdot 8b}{2} = 4b^2
   $$
   Igualando:
   $$
   4b^2 = 64b
   $$
   $$
   b(b - 16) = 0
   $$
   $$
   b = 16
   $$

8. A sequência (1, a, b) é uma progressão aritmética e a sequência (1, b, a) é uma P.G. não constante. O valor de a é:

**Resposta: d) 2**

Explicação:
   Para a PA:
   $$
   a - 1 = b - a
   $$
   $$
   2a = b + 1
   $$
   Para a PG:
   $$
   b^2 = 1 \cdot a
   $$
   $$
   b = \sqrt{a}
   $$
   Substituindo:
   $$
   2a = \sqrt{a} + 1
   $$
   $$
   4a^2 - 4a + 1 = 0
   $$
   $$
   a = 2
   $$

9. Em uma P.G. o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54. O quinto termo dessa P.G. é:

**Resposta: e) 486**

Explicação:
   A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
   $$
   a_n = a_1 r^{n-1}
   $$
   Para $n = 4$:
   $$
   54 = 2 r^3
   $$
   $$
   r^3 = 27
   $$
   $$
   r = 3
   $$
   O quinto termo é:
   $$
   a_5 = 2 \cdot 3^4 = 486
   $$

10. O número 21° termo da sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32,..) é um número:

**Resposta: e) entre 1.000.000 e 1.050.000**

Explicação:
    A fórmula do termo geral de uma P.G. é:
    $$
    a_n = a_1 r^{n-1}
    $$
    Para $n = 21$:
    $$
    a_{21} = 1 \cdot 2^{20} = 1.048.576
    $$

11. (UFPA) A soma da série infinita $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \ldots$:

**Resposta: a) $\frac{6}{5}$**

Explicação:
    A soma de uma série infinita de uma PG é dada por:
    $$
    S = \frac{a}{1 - r}
    $$
    Onde $a = 1$ e $r = \frac{1}{5}$:
    $$
    S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} = \frac{6}{5}
    $$

12. (UFPA) A razão da PG cujos termos satisfazem as relações:
    $a_1 + a_3 + a_5 = 5$ e
    $a_2 + a_4 + a_6 = 10$:

Sejam os termos da PG $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$:
    $$
    a + ar^2 + ar^4 = 5 \quad \text{(1)}
    $$
    $$
    ar + ar^3 + ar^5 = 10 \quad \text{(2)}
    $$
    Dividindo (2) por (1):
    $$
    r(a + ar^2 + ar^4) = 10
    $$
    $$
    r \cdot 5 = 10
    $$
    $$
    r = 2
    $$

1- Sabendo que (3-x, 5-x, 11-x,..) são os três primeiros ter...

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