1) Se u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4j - k e w = - i + k, determinar a) u x v
b) (2v) x (3v)
c) (u x w) + (w x u)
d) (u x v) x (v x u)
e) (u - v) x w

Q: 1) Se u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4j - k e w = - i + k, determinar a) u x v b) (2v) x (3v) c) (u x w) + (w x u) d) (u x v) x (v x u) e) (u - v) x w

Vamos resolver os itens um por um. Dado: $\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$ $\vec{v} = 2\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$ $\vec{w} = -\vec{i} + \vec{k}$ ### a) $\vec{u} \times \vec{u}$ O produto vetorial de um vetor consigo mesmo é sempre o vetor nulo: \[ \vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} \] ### b) $(2\vec{v}) \times (3\vec{v})$ Multiplicando os escalares: \[ (2\vec{v}) \times (3\vec{v}) = 6(\vec{v} \times \vec{v}) = 6 \times \vec{0} = \vec{0} \] ### c) $(\vec{u} \times \vec{w}) + (\vec{w} \times \vec{u})$ Sabemos que $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$, então: \[ (\vec{u} \times \vec{w}) + (\vec{w} \times \vec{u}) = \vec{0} \] ### d) $(\vec{u} \times \vec{v}) \times (\vec{v} \times \vec{u})$ Primeiro, calculamos $\vec{u} \times \vec{v}$: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (1\vec{i} + 7\vec{j} + 14\vec{k}) \] Agora, $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}) = (-1\vec{i} - 7\vec{j} - 14\vec{k})$. E finalmente: \[ (\vec{u} \times \vec{v}) \times (\vec{v} \times \vec{u}) = \vec{0} \] ### e) $(\vec{u} - \vec{v}) \times \vec{w}$ Calculamos $\vec{u} - \vec{v}$: \[ \vec{u} - \vec{v} = (3 - 2)\vec{i} + (-1 - 4)\vec{j} + (-2 + 1)\vec{k} = \vec{i} - 5\vec{j} - \vec{k} \] Agora, $(\vec{u} - \vec{v}) \times \vec{w}$: \[ \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -5 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-5 - 0)\vec{i} + (-1 - (-1))\vec{j} + (0 + 5)\vec{k} = -5\vec{i} + 0\vec{j} + 5\vec{k} \] Portanto, o resultado é: \[ -5\vec{i} + 5\vec{k} \]

Question

Accepted Answer

Vamos resolver os itens um por um.

Dado:
$\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k}$  
$\vec{v} = 2\vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}$  
$\vec{w} = -\vec{i} + \vec{k}$

### a) $\vec{u} \times \vec{u}$

O produto vetorial de um vetor consigo mesmo é sempre o vetor nulo:
$$
\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}
$$

### b) $(2\vec{v}) \times (3\vec{v})$

Multiplicando os escalares:
$$
(2\vec{v}) \times (3\vec{v}) = 6(\vec{v} \times \vec{v}) = 6 \times \vec{0} = \vec{0}
$$

### c) $(\vec{u} \times \vec{w}) + (\vec{w} \times \vec{u})$

Sabemos que $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$, então:
$$
(\vec{u} \times \vec{w}) + (\vec{w} \times \vec{u}) = \vec{0}
$$

### d) $(\vec{u} \times \vec{v}) \times (\vec{v} \times \vec{u})$

Primeiro, calculamos $\vec{u} \times \vec{v}$:
$$
\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 3 & -1 & -2 \ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (1\vec{i} + 7\vec{j} + 14\vec{k})
$$

Agora, $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}) = (-1\vec{i} - 7\vec{j} - 14\vec{k})$.

E finalmente:
$$
(\vec{u} \times \vec{v}) \times (\vec{v} \times \vec{u}) = \vec{0}
$$

### e) $(\vec{u} - \vec{v}) \times \vec{w}$

Calculamos $\vec{u} - \vec{v}$:
$$
\vec{u} - \vec{v} = (3 - 2)\vec{i} + (-1 - 4)\vec{j} + (-2 + 1)\vec{k} = \vec{i} - 5\vec{j} - \vec{k}
$$

Agora, $(\vec{u} - \vec{v}) \times \vec{w}$:
$$
\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & -5 & -1 \ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-5 - 0)\vec{i} + (-1 - (-1))\vec{j} + (0 + 5)\vec{k} = -5\vec{i} + 0\vec{j} + 5\vec{k}
$$

Portanto, o resultado é:
$$
-5\vec{i} + 5\vec{k}
$$

1) Se u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4j - k e w = - i + k, determ...

Se u = 3i - j - 2k, v = 2i + 4j - k e w = - i + k, determinar a) u x v b) (2v) x (3v) c) (u x w) + (w x u) d) (u x v) x (v x u) e) (u - v) x w

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