1. Seja I um intervalo aberto. Prove que, se f : I → R é der...

1. Seja I um intervalo aberto. Prove que, se f : I → R é derivável em I, então f é contínua em I.
2. Seja f : R → R definida por: f(x) =    x · cos � 1 x � ,sex ̸= 0 0,sex = 0 Responda: a) Justifique usando as propriedades das funções contínuas que f é contínua para todo x ̸= 0, b) Calcule lim x→0 f(x) e conclua que f é contínua em x = 0. Portanto, pelo item anterior f é contínua em R, c) Usando as propriedades de derivadas, calcule a derivada de f para todo x ̸= 0, d) Mostre que não existe lim x→0 f(x) − f(0) x − 0 , ou seja, f não derivável no x = 0. Portanto, pelo item anterior f é derivável em R exceto em x = 0.
3. Seja f : [0, 2] → R definida por: f(x) = � 1,se0 ⩽ x ⩽ 1 2,se1 < x ⩽ 2 Responda: a) Mostre que f não é contínua em x = 1, b) Calcule �2 0 f(x)dx = �1 0 f(x)dx + �2 1 f(x)dx e conclua que f é integrável em [0, 2].