1-Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13 com ambos no 1º quadrante, determine:

a- cos x

b- Sen y

c- cos(x + y)

d- Sen (x - y)

Question

1-Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13 com ambos no 1º quadrante, determine:

a- cos x

b- Sen y

c- cos(x + y)

d- Sen (x - y)

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as identidades trigonométricas e as relações fundamentais. Vamos considerar que $ x $ e $ y $ estão no primeiro quadrante, onde todas as funções trigonométricas são positivas.

### a) $\cos x$

Sabemos que $\sin x = \frac{4}{5}$. Podemos usar a identidade pitagórica para encontrar $\cos x$:

$$
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
$$

Substituindo $\sin x$:

$$
\left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 x = 1
$$

$$
\frac{16}{25} + \cos^2 x = 1
$$

$$
\cos^2 x = 1 - \frac{16}{25}
$$

$$
\cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}
$$

$$
\cos^2 x = \frac{9}{25}
$$

$$
\cos x = \pm \frac{3}{5}
$$

Como $ x $ está no primeiro quadrante, $\cos x$ é positivo:

$$
\cos x = \frac{3}{5}
$$

### b) $\sin y$

Sabemos que $\cos y = \frac{12}{13}$. Podemos usar a identidade pitagórica para encontrar $\sin y$:

$$
\sin^2 y + \cos^2 y = 1
$$

Substituindo $\cos y$:

$$
\sin^2 y + \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1
$$

$$
\sin^2 y + \frac{144}{169} = 1
$$

$$
\sin^2 y = 1 - \frac{144}{169}
$$

$$
\sin^2 y = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}
$$

$$
\sin^2 y = \frac{25}{169}
$$

$$
\sin y = \pm \frac{5}{13}
$$

Como $ y $ está no primeiro quadrante, $\sin y$ é positivo:

$$
\sin y = \frac{5}{13}
$$

### c) $\cos(x + y)$

Usamos a fórmula de adição para o cosseno:

$$
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
$$

Substituímos os valores encontrados:

$$
\cos(x + y) = \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{12}{13} \right) - \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{5}{13} \right)
$$

$$
\cos(x + y) = \frac{36}{65} - \frac{20}{65}
$$

$$
\cos(x + y) = \frac{16}{65}
$$

### d) $\sin(x - y)$

Usamos a fórmula de subtração para o seno:

$$
\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
$$

Substituímos os valores encontrados:

$$
\sin(x - y) = \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{12}{13} \right) - \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{5}{13} \right)
$$

$$
\sin(x - y) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65}
$$

$$
\sin(x - y) = \frac{33}{65}
$$

Portanto, as respostas são:

a) $\cos x = \frac{3}{5}$

b) $\sin y = \frac{5}{13}$

c) $\cos(x + y) = \frac{16}{65}$

d) $\sin(x - y) = \frac{33}{65}$

1-Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13 com ambos no 1º quadrant...

1-Sendo sen x = 4/5 e cos y = 12/13 com ambos no 1º quadrante, determine:

a- cos x

b- Sen y

c- cos(x + y)

d- Sen (x - y)

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