1) (Ufjf-pism 3) Considere o polinômio dado por p(x) = ax³ + bx² + cx + d. A soma e o produto de suas raízes são, respectivamente, 2 e 3. Sabe-se ainda que p(1) = 10 e que 1 é raiz desse polinômio.

Encontre os valores dos coeficientes a, b, c e d.

2) (Ufjf-pism 3) Suponha que existe um único x - 8 e uma fatoração do polinômio p(x) = x³ - 18x² - 104x - 192 em fatores lineares distintos para expressar produtos de três inteiros positivos. Seja r uma dessas raízes inteiras. Sabemos que r - 8 é raiz do polinômio D(x) = p(x) - 48 e que D(x) é divisível por x - 10, encontre o menor entre esses três números.

a) 24
b) 12
c) 8
d) 2
e) 1

3) (Ufjf-pism 3) A divisão de um polinômio p(x) pelo polinômio x² - x resulta como quociente 2x² + x + 1 e, por resto, o polinômio 3x. O resto da divisão do polinômio p(x) por 2x + 1 é igual a:

a) 1/2
b) 3/4
c) 1/2
d) 3/4
e) 1

4) (Ufjf-pism 3) Os polinômios P(x) = 2x² - 3x + 6, M(x) = -3x² + x - m, ao serem divididos pelo polinômio D(x) = x - 2 produzem como restos, respectivamente, 9 e -4.

a) Quais são os valores de P e m?
b) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) - M(x) pelo polinômio N(x) = 3x + 3.

5) (Ufjf-pism 3) Observe as divisões entre polinômios apresentadas a seguir:

p(x) 4x - 3
2 q(x)
(x³ - 2)x p(x) 4x - 3
2 q(x)

Calcule o resto t da segunda divisão.

g) (Ufjf-pism 3) Considere o polinômio p(x) = x³ - 8x² + 19x - 12.

A soma dos quadrados das raízes desse polinômio é:
a) 12
b) 24
c) 26
d) 38
e) 64

7) (Ufjf-pism 3) O resto da divisão do polinômio p(x) = x¹⁰ - 1 pelo polinômio q(x) = x² - 2 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

Question

1) (Ufjf-pism 3) Considere o polinômio dado por p(x) = ax³ + bx² + cx + d. A soma e o produto de suas raízes são, respectivamente, 2 e 3. Sabe-se ainda que p(1) = 10 e que 1 é raiz desse polinômio.

Encontre os valores dos coeficientes a, b, c e d.

2) (Ufjf-pism 3) Suponha que existe um único x - 8 e uma fatoração do polinômio p(x) = x³ - 18x² - 104x - 192 em fatores lineares distintos para expressar produtos de três inteiros positivos. Seja r uma dessas raízes inteiras. Sabemos que r - 8 é raiz do polinômio D(x) = p(x) - 48 e que D(x) é divisível por x - 10, encontre o menor entre esses três números.

a) 24
b) 12
c) 8
d) 2
e) 1

3) (Ufjf-pism 3) A divisão de um polinômio p(x) pelo polinômio x² - x resulta como quociente 2x² + x + 1 e, por resto, o polinômio 3x. O resto da divisão do polinômio p(x) por 2x + 1 é igual a:

a) 1/2
b) 3/4
c) 1/2
d) 3/4
e) 1

4) (Ufjf-pism 3) Os polinômios P(x) = 2x² - 3x + 6, M(x) = -3x² + x - m, ao serem divididos pelo polinômio D(x) = x - 2 produzem como restos, respectivamente, 9 e -4.

a) Quais são os valores de P e m?
b) Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) - M(x) pelo polinômio N(x) = 3x + 3.

5) (Ufjf-pism 3) Observe as divisões entre polinômios apresentadas a seguir:

p(x) 4x - 3
2 q(x)
(x³ - 2)x p(x) 4x - 3
2 q(x)

Calcule o resto t da segunda divisão.

g) (Ufjf-pism 3) Considere o polinômio p(x) = x³ - 8x² + 19x - 12.

A soma dos quadrados das raízes desse polinômio é:
a) 12
b) 24
c) 26
d) 38
e) 64

7) (Ufjf-pism 3) O resto da divisão do polinômio p(x) = x¹⁰ - 1 pelo polinômio q(x) = x² - 2 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões passo a passo.

### Questão 1

Dado o polinômio $ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $.

- Soma das raízes: $ -\frac{b}{a} = 2 $.
- Produto das raízes: $ -\frac{d}{a} = 3 $.
- $ p(1) = 10 $, ou seja, $ a + b + c + d = 10 $.
- Uma raiz é 1, então $ p(1) = 0 $.

**Resolução:**

1. $ -\frac{b}{a} = 2 \Rightarrow b = -2a $.
2. $ -\frac{d}{a} = 3 \Rightarrow d = -3a $.
3. $ a - 2a + c - 3a = 0 \Rightarrow c = 4a $.
4. $ a + (-2a) + 4a + (-3a) = 10 \Rightarrow 0 = 10 $ (contradição)

Revisando os passos, parece que há um erro na interpretação inicial. Vamos corrigir:

- $ p(x) = a(x - 1)(x^2 + px + q) $.
- $ -p = 2 $ e $ q = -3 $.

Assim, $ p(x) = a(x - 1)(x^2 + 2x - 3) $.

Expandindo:

$$ p(x) = a(x^3 + 2x^2 - 3x - x^2 - 2x + 3) = a(x^3 + x^2 - 5x + 3) $$

Comparando com $ ax^3 + bx^2 + cx + d $:

- $ b = a $
- $ c = -5a $
- $ d = 3a $

Usando $ p(1) = 10 $:

$$ a + a - 5a + 3a = 10 \Rightarrow a = 5 $$

Portanto:

- $ a = 5 $
- $ b = 5 $
- $ c = -25 $
- $ d = 15 $

### Questão 2

Fatoração de $ p(x) = x^3 - 18x^2 + 104x - 192 $.

Sabemos que $ r $ é raiz do polinômio $ D(x) = p(x) - 48 $.

- $ D(x) $ é divisível por $ x - 10 $.

Vamos tentar encontrar $ r $:

Pelo teorema do resto, substituímos $ x = 10 $ em $ p(x) $:

$$ p(10) = 1000 - 1800 + 1040 - 192 = 48 $$

Portanto, $ r = 8 $.

### Questão 3

Divisão de $ p(x) $ por $ x^2 - x $ dá quociente $ 2x^2 + x + 1 $ e resto $ 3x $.

Para $ p(x) $ dividido por $ 2x + 1 $, o resto é:

$$ R(x) = 3x $$

Substituindo $ x = -\frac{1}{2} $:

$$ R\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} $$

**Resposta: C**

### Questão 4

Polinômios $ P(x) = 2x^2 - 3x + p $ e $ M(x) = 3x^2 + x - m $.

- Resto da divisão por $ x - 2 $ é 9.
- Resto da divisão por $ x - 2 $ é -4.

Substituindo $ x = 2 $:

1. $ 2(2)^2 - 3(2) + p = 9 \Rightarrow 8 - 6 + p = 9 \Rightarrow p = 7 $.
2. $ 3(2)^2 + 2 - m = -4 \Rightarrow 12 + 2 - m = -4 \Rightarrow m = 18 $.

**Resposta:**
a) $ p = 7 $, $ m = 18 $.

b) Dividindo $ P(x) - M(x) $ por $ x - 2 $:

$$ N(x) = (2x^2 - 3x + 7) - (3x^2 + x - 18) = -x^2 - 4x + 25 $$

O quociente é $ 3x + 3 $.

### Questão 5

Observe as divisões entre polinômios.

Para calcular o resto da segunda divisão, precisamos fazer a divisão polinomial:

$$ (x^3 - 2x) \div (4x - 3) $$

Realizando a divisão polinomial, encontramos o resto.

### Questão 6

Polinômio $ p(x) = x^3 - 8x^2 + 19x - 12 $.

A soma dos quadrados das raízes:

Sejam $ \alpha, \beta, \gamma $ as raízes:

$$ (\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) $$

Usando relações de Viète:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 8 $$
$$ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 19 $$
$$ \alpha\beta\gamma = 12 $$

$$ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 64 - 38 = 26 $$

**Resposta: C**

### Questão 7

Resto da divisão de $ p(x) = x^{10} - 1 $ por $ q(x) = x - 2 $.

Substituindo $ x = 2 $:

$$ p(2) = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023 $$

Dividido por $ x - 2 $, o resto é 1.

**Resposta: B**

Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição!

1) (Ufjf-pism 3) Considere o polinômio dado por p(x) = ax³ +...

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