1. (UFMS) Um carro se move com velocidade constante de $ 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $. Começa a chover, e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de $ 30^{\circ} \mathrm{com} $ a vertical.

Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

Question

1. (UFMS) Um carro se move com velocidade constante de $ 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $. Começa a chover, e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de $ 30^{\circ} \mathrm{com} $ a vertical.

Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos entender a relação entre a velocidade do carro e a velocidade aparente das gotas de chuva em relação ao carro.

Vamos denotar:
- $ v_c $ como a velocidade do carro,
- $ v_g $ como a velocidade das gotas de chuva em relação à Terra,
- $ v_{g/c} $ como a velocidade das gotas de chuva em relação ao carro.

Sabemos que:
- $ v_c = 60 \, \text{km/h} $,
- As gotas de chuva caem verticalmente em relação à Terra, ou seja, $ v_g $ é puramente vertical.

Quando o motorista observa as gotas de chuva formando um ângulo de $ 30^\circ $ com a vertical, ele está observando a composição vetorial da velocidade do carro e a velocidade vertical das gotas.

Podemos usar a decomposição vetorial para resolver isso. O vetor resultante da velocidade das gotas em relação ao carro forma um triângulo retângulo onde:

- A componente horizontal é a velocidade do carro, $ v_c $,
- A componente vertical é a velocidade das gotas, $ v_g $,
- O ângulo entre a velocidade aparente das gotas e a vertical é $ 30^\circ $.

A tangente do ângulo $ 30^\circ $ nos dá a razão entre a componente horizontal e a componente vertical da velocidade aparente das gotas:

$$
\tan(30^\circ) = \frac{v_c}{v_g}
$$

Sabendo que $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $:

$$
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60 \, \text{km/h}}{v_g}
$$

Isolando $ v_g $:

$$
v_g = 60 \, \text{km/h} \cdot \sqrt{3}
$$

Portanto, a velocidade das gotas de água em relação ao carro é:

$$
v_g = 60 \sqrt{3} \, \text{km/h}
$$

Assim, as gotas de água caem em relação ao carro com uma velocidade de $ 60 \sqrt{3} \, \text{km/h} $.

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