1. Um vetor tem um componente x de –25,0 unidades e um componente y de 40,0 unidades.
Encontre o m´odulo e a dire¸c˜ao e o sentido desse vetor.
2. Encontre as componentes horizontais e verticais do deslocamento de 100 m de um super-her´oi
que voa do topo de um edif´ıcio seguindo o caminho mostrado na Figura.
3. Dados os vetores A⃗ = 2, 00ˆı + 6, 00j e B⃗ = 3, 00ˆı–2.00j, (a) desenhe a soma vetorial C⃗ = A⃗ + B⃗
e a diferen¸ca vetorial D⃗ = A⃗–B⃗ . (b) Calcule C⃗ e D⃗ nos termos de vetores unit´arios. (c) Calcule
C⃗ e D⃗ nos termos de coordenadas polares, com ˆangulos medidos com rela¸c˜ao ao eixo x positivo.
4. Expresse em nota¸c˜ao de vetor unit´ario os seguintes vetores, cada um com m´odulo de 17,0 cm.
(a) O vetor E⃗ ´e direcionado 27,0° no sentido anti-hor´ario do eixo x positivo. (b) O vetor F⃗ ´e
direcionado 27,0° no sentido anti-hor´ario do eixo y positivo. (c) O vetor G⃗ ´e direcionado 27,0°
no sentido hor´ario do eixo y negativo.
5. Uma pessoa que vai fazer uma caminhada segue o trajeto mostrado na Figura. A viagem total
´e composta por quatro trajet´orias em linha reta. No final da caminhada, qual ´e o deslocamento
resultante da pessoa medido a partir do ponto de partida?
6. O vetor A⃗ tem as componentes x e y de –8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor B⃗ tem
componentes x e y de 13,2 cm e –6,60 cm, respectivamente. Se A⃗ – B⃗ + 3C⃗ = 0, quais s˜ao as
componentes de C⃗ ?
7. Um avi˜ao voa do campo-base para o Lago A, a 280 km de distˆancia na dire¸c˜ao 20,0° nordeste.
Ap´os soltar os suprimentos, ele voa para o Lago B, que fica a 190 km em 30,0° a noroeste do
Lago A. Determine graficamente a distˆancia e a dire¸c˜ao do Lago B para o campo de base.
8. Um carrinho de montanha-russa move-se a 200 p´es horizontalmente e sobe 135 p´es em um ˆangulo
de 30,0° acima da horizontal. Depois, viaja 135 p´es em um ˆangulo de 40,0° para baixo. Qual ´e
seu deslocamento desde o ponto de partida? Use t´ecnicas gr´aficas.

Responda cada pergunta, explicando como chegou naquela situação e os cálculos, se for necessário faça uma imagem exemplificando

Question

1. Um vetor tem um componente x de –25,0 unidades e um componente y de 40,0 unidades.
Encontre o m´odulo e a dire¸c˜ao e o sentido desse vetor.
2. Encontre as componentes horizontais e verticais do deslocamento de 100 m de um super-her´oi
que voa do topo de um edif´ıcio seguindo o caminho mostrado na Figura.
3. Dados os vetores A⃗ = 2, 00ˆı + 6, 00j e B⃗ = 3, 00ˆı–2.00j, (a) desenhe a soma vetorial C⃗ = A⃗ + B⃗
e a diferen¸ca vetorial D⃗ = A⃗–B⃗ . (b) Calcule C⃗ e D⃗ nos termos de vetores unit´arios. (c) Calcule
C⃗ e D⃗ nos termos de coordenadas polares, com ˆangulos medidos com rela¸c˜ao ao eixo x positivo.
4. Expresse em nota¸c˜ao de vetor unit´ario os seguintes vetores, cada um com m´odulo de 17,0 cm.
(a) O vetor E⃗ ´e direcionado 27,0° no sentido anti-hor´ario do eixo x positivo. (b) O vetor F⃗ ´e
direcionado 27,0° no sentido anti-hor´ario do eixo y positivo. (c) O vetor G⃗ ´e direcionado 27,0°
no sentido hor´ario do eixo y negativo.
5. Uma pessoa que vai fazer uma caminhada segue o trajeto mostrado na Figura. A viagem total
´e composta por quatro trajet´orias em linha reta. No final da caminhada, qual ´e o deslocamento
resultante da pessoa medido a partir do ponto de partida?
6. O vetor A⃗ tem as componentes x e y de –8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor B⃗ tem
componentes x e y de 13,2 cm e –6,60 cm, respectivamente. Se A⃗ – B⃗ + 3C⃗ = 0, quais s˜ao as
componentes de C⃗ ?
7. Um avi˜ao voa do campo-base para o Lago A, a 280 km de distˆancia na dire¸c˜ao 20,0° nordeste.
Ap´os soltar os suprimentos, ele voa para o Lago B, que fica a 190 km em 30,0° a noroeste do
Lago A. Determine graficamente a distˆancia e a dire¸c˜ao do Lago B para o campo de base.
8. Um carrinho de montanha-russa move-se a 200 p´es horizontalmente e sobe 135 p´es em um ˆangulo
de 30,0° acima da horizontal. Depois, viaja 135 p´es em um ˆangulo de 40,0° para baixo. Qual ´e
seu deslocamento desde o ponto de partida? Use t´ecnicas gr´aficas.

Responda cada pergunta, explicando como chegou naquela situação e os cálculos, se for necessário faça uma imagem exemplificando

Accepted Answer

Ok, vamos resolver cada um desses problemas passo a passo.

**1. Módulo e Direção de um Vetor**

Dado um vetor com componente x de -25.0 unidades e componente y de 40.0 unidades, podemos encontrar o módulo e a direção da seguinte forma:

*   **Módulo (Magnitude):**

O módulo do vetor $ \vec{V} $ é dado por:
    $$
    |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}
    $$
    Onde $ V_x = -25.0 $ e $ V_y = 40.0 $.
    $$
    |\vec{V}| = \sqrt{(-25.0)^2 + (40.0)^2} = \sqrt{625 + 1600} = \sqrt{2225} \approx 47.17 \text{ unidades}
    $$

*   **Direção (Ângulo):**

A direção $ \theta $ do vetor é dada por:
    $$
    \theta = \arctan\left(\frac{V_y}{V_x}\right)
    $$
    $$
    \theta = \arctan\left(\frac{40.0}{-25.0}\right) = \arctan(-1.6)
    $$
    Como $ V_x $ é negativo e $ V_y $ é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Portanto, precisamos adicionar 180° ao resultado da função arctan:
    $$
    \theta \approx -57.99^\circ + 180^\circ \approx 122.01^\circ
    $$
    A direção do vetor é aproximadamente 122.01° em relação ao eixo x positivo.

**2. Componentes Horizontal e Vertical do Deslocamento**

Dado um deslocamento de 100 m com um ângulo de 30.0° (assumindo em relação à horizontal):

*   **Componente Horizontal ($ d_x $):**
    $$
    d_x = d \cos(\theta) = 100 \cos(30.0^\circ) = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6 \text{ m}
    $$

*   **Componente Vertical ($ d_y $):**
    $$
    d_y = d \sin(\theta) = 100 \sin(30.0^\circ) = 100 \times \frac{1}{2} = 50.0 \text{ m}
    $$
    Portanto, as componentes horizontal e vertical do deslocamento são aproximadamente 86.6 m e 50.0 m, respectivamente.

**3. Soma e Diferença de Vetores**

Dados os vetores $ \vec{A} = 2.00\hat{i} + 6.00\hat{j} $ e $ \vec{B} = 3.00\hat{i} - 2.00\hat{j} $:

*   **(a) Desenho:**

Para desenhar a soma e a diferença, você representaria os vetores em um plano cartesiano. A soma $ \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} $ seria obtida somando as componentes de $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $. A diferença $ \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} $ seria obtida subtraindo as componentes de $ \vec{B} $ de $ \vec{A} $.

*   **(b) Cálculo em termos de vetores unitários:**
    $$
    \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} = (2.00 + 3.00)\hat{i} + (6.00 - 2.00)\hat{j} = 5.00\hat{i} + 4.00\hat{j}
    $$
    $$
    \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = (2.00 - 3.00)\hat{i} + (6.00 - (-2.00))\hat{j} = -1.00\hat{i} + 8.00\hat{j}
    $$

*   **(c) Cálculo em coordenadas polares:**

Para $ \vec{C} $:
    $$
    |\vec{C}| = \sqrt{(5.00)^2 + (4.00)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40
    $$
    $$
    \theta_C = \arctan\left(\frac{4.00}{5.00}\right) = \arctan(0.8) \approx 38.66^\circ
    $$
    Para $ \vec{D} $:
    $$
    |\vec{D}| = \sqrt{(-1.00)^2 + (8.00)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} \approx 8.06
    $$
    $$
    \theta_D = \arctan\left(\frac{8.00}{-1.00}\right) = \arctan(-8)
    $$
    Como $ D_x $ é negativo e $ D_y $ é positivo, o vetor está no segundo quadrante:
    $$
    \theta_D \approx -82.87^\circ + 180^\circ \approx 97.13^\circ
    $$

**4. Vetores em Notação de Vetor Unitário**

Dado que cada vetor tem um módulo de 17.0 cm:

*   **(a) Vetor $ \vec{E} $ a 27.0° do eixo x positivo:**
    $$
    \vec{E} = 17.0 \cos(27.0^\circ)\hat{i} + 17.0 \sin(27.0^\circ)\hat{j}
    $$
    $$
    \vec{E} \approx 17.0 \times 0.891\hat{i} + 17.0 \times 0.454\hat{j} \approx 15.15\hat{i} + 7.72\hat{j} \text{ cm}
    $$

*   **(b) Vetor $ \vec{F} $ a 27.0° do eixo y positivo:**

Isso significa que o ângulo em relação ao eixo x positivo é $ 90^\circ - 27.0^\circ = 63.0^\circ $.
    $$
    \vec{F} = 17.0 \cos(63.0^\circ)\hat{i} + 17.0 \sin(63.0^\circ)\hat{j}
    $$
    $$
    \vec{F} \approx 17.0 \times 0.454\hat{i} + 17.0 \times 0.891\hat{j} \approx 7.72\hat{i} + 15.15\hat{j} \text{ cm}
    $$

*   **(c) Vetor $ \vec{G} $ a 27.0° do eixo y negativo:**

Isso significa que o ângulo em relação ao eixo x positivo é $ 270^\circ + 27.0^\circ = 297^\circ $ ou $ -63^\circ $.
    $$
    \vec{G} = 17.0 \cos(-63.0^\circ)\hat{i} + 17.0 \sin(-63.0^\circ)\hat{j}
    $$
    $$
    \vec{G} \approx 17.0 \times 0.454\hat{i} + 17.0 \times (-0.891)\hat{j} \approx 7.72\hat{i} - 15.15\hat{j} \text{ cm}
    $$

**5. Deslocamento Resultante da Caminhada**

Para encontrar o deslocamento resultante, precisamos somar vetorialmente cada segmento da caminhada. Sem a figura, não posso fornecer valores numéricos exatos. No entanto, o processo seria:

1.  **Decompor cada segmento** em componentes x e y.
2.  **Somar todas as componentes x** para obter a componente x do deslocamento resultante.
3.  **Somar todas as componentes y** para obter a componente y do deslocamento resultante.
4.  **Calcular o módulo** do deslocamento resultante usando o teorema de Pitágoras.
5.  **Calcular a direção** do deslocamento resultante usando a função arctan.

**6. Componentes do Vetor $ \vec{C} $**

Dados $ \vec{A} = -8.70\hat{i} + 15.0\hat{j} $ e $ \vec{B} = 13.2\hat{i} - 6.60\hat{j} $, e $ \vec{A} - \vec{B} + 3\vec{C} = 0 $:

Primeiro, vamos encontrar $ \vec{A} - \vec{B} $:
$$
\vec{A} - \vec{B} = (-8.70 - 13.2)\hat{i} + (15.0 - (-6.60))\hat{j} = -21.9\hat{i} + 21.6\hat{j}
$$
Agora, como $ \vec{A} - \vec{B} + 3\vec{C} = 0 $, temos:
$$
3\vec{C} = -(\vec{A} - \vec{B}) = 21.9\hat{i} - 21.6\hat{j}
$$
$$
\vec{C} = \frac{1}{3}(21.9\hat{i} - 21.6\hat{j}) = 7.3\hat{i} - 7.2\hat{j}
$$
Portanto, as componentes de $ \vec{C} $ são $ C_x = 7.3 $ e $ C_y = -7.2 $.

**7. Distância e Direção do Lago B para o Campo Base (Graficamente)**

Para resolver este problema graficamente:

1.  **Desenhe um sistema de coordenadas** com o campo base na origem.
2.  **Desenhe o vetor** do campo base para o Lago A (280 km, 20.0° nordeste).
3.  **A partir do Lago A**, desenhe o vetor para o Lago B (190 km, 30.0° noroeste).
4.  **Desenhe um vetor** do campo base para o Lago B.
5.  **Meça o comprimento** deste vetor para obter a distância.
6.  **Meça o ângulo** deste vetor em relação ao eixo norte para obter a direção.

**8. Deslocamento do Carrinho de Montanha-Russa (Graficamente)**

Para resolver este problema graficamente:

1.  **Desenhe um sistema de coordenadas.**
2.  **Desenhe o primeiro deslocamento:** 200 pés horizontalmente.
3.  **Desenhe o segundo deslocamento:** 135 pés a 30.0° acima da horizontal.
4.  **Desenhe o terceiro deslocamento:** 135 pés a 40.0° abaixo da horizontal.
5.  **Desenhe um vetor** do ponto de partida ao ponto final.
6.  **Meça o comprimento** deste vetor para obter o deslocamento total.
7.  **Meça o ângulo** deste vetor em relação à horizontal para obter a direção.

Sem as figuras, as soluções gráficas (problemas 5, 7 e 8) são apenas descritas em termos de método. Para obter resultados numéricos precisos, você precisaria realizar as medições em um desenho em escala.

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