10) Usando apenas que $ \log 2=0,30, \log 3=0,47 $ e $ \log 5=0,69 $, calcule:
(a) $ \log 4 $
(b) $ \log (2 / 5) $
(c) $ \log 12 $
(d) $ \log 25 $
(e) $ \log \sqrt{ } 2 $
(f) $ \log 0.5 $
(g) $ \log 32 $
(h) $ \log 20 $
(i) $ \log _{2} 3 $
(j) $ \log 20+\log 40+\log 1600 $
(k) $ \log 30 $
(l) $ \log 32 $
(m) $ \log (10 / 9) $
(n) $ \log 10 $
(o) $ \log _{2} 5 $
(p) $ \log 30+\log 90 $
(q) $ \log \sqrt{ } 5 $
(r) $ \log 15 $
(s) $ \log _{3} 5 $
(t) $ \log 50-\log 250 $
(u) $ \log (32 / 15) $

Question

Accepted Answer

Para resolver esses cálculos, vamos usar as propriedades dos logaritmos. As propriedades relevantes são:

1. **Produto:** $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$
2. **Quociente:** $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$
3. **Potência:** $\log_b(x^y) = y\log_b(x)$
4. **Base de troca (para o item i e s):** $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, onde $c$ é uma nova base.

Dadas as informações: $ \log 2=0,30$, $ \log 3=0,47$, e $ \log 5=0,69$.

Vamos calcular:

**(a) $ \log 4 $**

$$ \log 4 = \log (2^2) = 2\log 2 = 2(0,30) = 0,60.$$

**(b) $ \log (2 / 5) $**

$$ \log (2 / 5) = \log 2 - \log 5 = 0,30 - 0,69 = -0,39.$$

**(c) $ \log 12 $**

$$ \log 12 = \log (2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3 = 2(0,30) + 0,47 = 1,07.$$

**(d) $ \log 25 $**

$$ \log 25 = \log (5^2) = 2\log 5 = 2(0,69) = 1,38.$$

**(e) $ \log \sqrt{2} $**

$$ \log \sqrt{2} = \frac{1}{2}\log 2 = \frac{1}{2}(0,30) = 0,15.$$

**(f) $ \log 0.5 $**

$$ \log 0.5 = \log (2^{-1}) = -\log 2 = -0,30.$$

**(g) $ \log 32 $**

$$ \log 32 = \log (2^5) = 5\log 2 = 5(0,30) = 1,50.$$

**(h) $ \log 20 $**

$$ \log 20 = \log (2^2 \cdot 5) = 2\log 2 + \log 5 = 2(0,30) + 0,69 = 1,29.$$

**(i) $ \log _{2} 3 $**

$$ \log _{2} 3 = \frac{\log 3}{\log 2} = \frac{0,47}{0,30}.$$

**(j) $ \log 20+\log 40+\log 1600 $**

$$ \log 20+\log 40+\log 1600 = \log (20 \cdot 40 \cdot 1600) = \log (1280000).$$
Como $1280000 = 2^7 \cdot 5^3$, podemos calcular:
$$ \log (2^7 \cdot 5^3) = 7\log 2 + 3\log 5 = 7(0,30) + 3(0,69).$$

**(k) $ \log 30 $**

$$ \log 30 = \log (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log 2 + \log 3 + \log 5 = 0,30 + 0,47 + 0,69.$$

**(l) $ \log 32 $**

Já calculado no item (g).

**(m) $ \log (10 / 9) $**

$$ \log (10 / 9) = \log 10 - \log 9 = \log (2 \cdot 5) - \log (3^2) = \log 2 + \log 5 - 2\log 3.$$

**(n) $ \log 10 $**

$$ \log 10 = \log (2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5 = 0,30 + 0,69.$$

**(o) $ \log _{2} 5 $**

$$ \log _{2} 5 = \frac{\log 5}{\log 2}.$$

**(p) $ \log 30+\log 90 $**

$$ \log 30+\log 90 = \log (30 \cdot 90) = \log (2700).$$
Como $2700 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$, podemos calcular:
$$ \log (2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2) = 2\log 2 + 3\log 3 + 2\log 5.$$

**(q) $ \log \sqrt{5} $**

$$ \log \sqrt{5} = \frac{1}{2}\log 5 = \frac{1}{2}(0,69).$$

**(r) $ \log 15 $**

$$ \log 15 = \log (3 \cdot 5) = \log 3 + \log 5 = 0,47 + 0,69.$$

**(s) $ \log _{3} 5 $**

$$ \log _{3} 5 = \frac{\log 5}{\log 3}.$$

**(t) $ \log 50-\log 250 $**

$$ \log 50-\log 250 = \log \left(\frac{50}{250}\right) = \log \left(\frac{1}{5}\right) = -\log 5.$$

**(u) $ \log (32 / 15) $**

$$ \log (32 / 15) = \log 32 - \log 15 = \log (2^5) - \log (3 \cdot 5) = 5\log 2 - (\log 3 + \log 5).$$

Para os itens (i), (o), e (s), substitua os valores conhecidos para obter os resultados numéricos. Por exemplo, para $ \log _{2} 3 $:

$$ \log _{2} 3 = \frac{0,47}{0,30}.$$

Continue da mesma forma para os outros itens que requerem substituição de valores.

10) Usando apenas que

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