10. Considere a função f(x) = -x² + 10x + 11. Complete a tabela abaixo com os valores de f(x) e represente graficamente no plano cartesiano. Note que será obtida uma parábola, uma vez que a função é de 2 grau.

a) Em quais pontos o gráfico cruza o eixo x? e y?
b) Qual o valor do coeficiente dessa função? Lembre-se que ela dá da forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
c) Em qual ponto o gráfico cruza o eixo y? O que representa a coordenada y desses pontos?
d) Para qual valor de x tem-se o valor máximo de y? Qual este valor?

Q: 10. Considere a função f(x) = -x² + 10x + 11. Complete a tabela abaixo com os valores de f(x) e represente graficamente no plano cartesiano. Note que será obtida uma parábola, uma vez que a função é de 2 grau. a) Em quais pontos o gráfico cruza o eixo x? e y? b) Qual o valor do coeficiente dessa função? Lembre-se que ela dá da forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. c) Em qual ponto o gráfico cruza o eixo y? O que representa a coordenada y desses pontos? d) Para qual valor de x tem-se o valor máximo de y? Qual este valor?

Para resolver as questões sobre a função $ f(x) = -x^2 + 10x + 11 $, vamos analisar cada uma delas: ### a) Em quais pontos o gráfico cruza o eixo x? Para encontrar os pontos onde o gráfico cruza o eixo x, precisamos encontrar as raízes da equação $ -x^2 + 10x + 11 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde $ a = -1 $, $ b = 10 $, e $ c = 11 $. \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 11}}{2 \cdot (-1)} \] \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 44}}{-2} \] \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{-2} \] \[ x = \frac{-10 \pm 12}{-2} \] As soluções são: \[ x_1 = \frac{-10 + 12}{-2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-10 - 12}{-2} = 11 \] Portanto, o gráfico cruza o eixo x nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 11 $. ### b) Qual o valor do coeficiente dessa função? O que representa a coordenada y desse ponto? O coeficiente $ c $ na função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ representa o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Neste caso, $ c = 11 $, então o gráfico cruza o eixo y no ponto $ (0, 11) $. ### c) Em qual ponto o gráfico cruza o eixo y? O que representa a coordenada x desse ponto? Como mencionado anteriormente, o gráfico cruza o eixo y no ponto $ (0, 11) $. ### d) Para qual valor de x tem-se o valor máximo de y? Qual é este valor? O valor máximo de $ y $ em uma parábola voltada para baixo (como é o caso quando $ a < 0 $) ocorre no vértice da parábola. A coordenada x do vértice é dada por: \[ x_v = \frac{-b}{2a} \] Substituindo: \[ x_v = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5 \] Para encontrar o valor máximo de $ y $, substituímos $ x = 5 $ na função: \[ f(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 + 11 \] \[ f(5) = -25 + 50 + 11 \] \[ f(5) = 36 \] Portanto, o valor máximo de $ y $ é 36, que ocorre quando $ x = 5 $.

Question

10. Considere a função f(x) = -x² + 10x + 11. Complete a tabela abaixo com os valores de f(x) e represente graficamente no plano cartesiano. Note que será obtida uma parábola, uma vez que a função é de 2 grau.

a) Em quais pontos o gráfico cruza o eixo x? e y?
 b) Qual o valor do coeficiente dessa função? Lembre-se que ela dá da forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
 c) Em qual ponto o gráfico cruza o eixo y? O que representa a coordenada y desses pontos?
 d) Para qual valor de x tem-se o valor máximo de y? Qual este valor?

Accepted Answer

Para resolver as questões sobre a função $ f(x) = -x^2 + 10x + 11 $, vamos analisar cada uma delas:

### a) Em quais pontos o gráfico cruza o eixo x?

Para encontrar os pontos onde o gráfico cruza o eixo x, precisamos encontrar as raízes da equação $ -x^2 + 10x + 11 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

onde $ a = -1 $, $ b = 10 $, e $ c = 11 $.

$$
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 11}}{2 \cdot (-1)}
$$
$$
x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 44}}{-2}
$$
$$
x = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{-2}
$$
$$
x = \frac{-10 \pm 12}{-2}
$$

As soluções são:

$$
x_1 = \frac{-10 + 12}{-2} = -1
$$
$$
x_2 = \frac{-10 - 12}{-2} = 11
$$

Portanto, o gráfico cruza o eixo x nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 11 $.

### b) Qual o valor do coeficiente dessa função? O que representa a coordenada y desse ponto?

O coeficiente $ c $ na função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ representa o ponto onde o gráfico cruza o eixo y. Neste caso, $ c = 11 $, então o gráfico cruza o eixo y no ponto $ (0, 11) $.

### c) Em qual ponto o gráfico cruza o eixo y? O que representa a coordenada x desse ponto?

Como mencionado anteriormente, o gráfico cruza o eixo y no ponto $ (0, 11) $.

### d) Para qual valor de x tem-se o valor máximo de y? Qual é este valor?

O valor máximo de $ y $ em uma parábola voltada para baixo (como é o caso quando $ a < 0 $) ocorre no vértice da parábola. A coordenada x do vértice é dada por:

$$
x_v = \frac{-b}{2a}
$$

Substituindo:

$$
x_v = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5
$$

Para encontrar o valor máximo de $ y $, substituímos $ x = 5 $ na função:

$$
f(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 + 11
$$
$$
f(5) = -25 + 50 + 11
$$
$$
f(5) = 36
$$

Portanto, o valor máximo de $ y $ é 36, que ocorre quando $ x = 5 $.

10. Considere a função f(x) = -x² + 10x + 11. Complete a tab...

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