10. (fGV-SP) Uma mercadoria, cujo preço de tabela de Il $ -11000,00 $ - evendida A vista com desconto de XMiou em duas parcelas iguais de R\& 4000,00 sendo a primeira no ato da compra e a segunda um més após a compra. Suponha que o comprador dispoe de di nheiro necessario para pagar a vistae que ele sabe que a diferença entre o preço a vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mer cado financeiro a uma taxa de $ 25 \% $ ao més. Nessas condiçöes:
a) se $ x=15 $, será vantajosa para ele a compra - a prazol Explique.
bi Qual e o valor de x que torna indiferente comprar a vista ou a prazo? Explique.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver a questão passo a passo.

**a) Se $ x = 15 $, será vantajosa para ele a compra a prazo? Explique.**

Primeiro, vamos calcular o preço à vista com o desconto de 15%.

O preço de tabela é $ R\$ 11000,00 $.

Com um desconto de 15%, o preço à vista é:
$$
P_{\text{à vista}} = 11000 \times (1 - 0.15) = 11000 \times 0.85 = 9350
$$

Agora, vamos analisar a compra a prazo. O comprador paga duas parcelas de $ R\$ 4000,00 $.

A primeira parcela é paga no ato da compra e a segunda parcela é paga um mês após a compra.

Para comparar os custos, precisamos considerar a aplicação financeira da diferença entre o preço à vista e a primeira parcela ao longo de um mês com uma taxa de 25% ao mês.

Diferença entre o preço à vista e a primeira parcela:
$$
D = P_{\text{à vista}} - 4000 = 9350 - 4000 = 5350
$$

Valor futuro dessa diferença após um mês com uma taxa de 25%:
$$
V_F = 5350 \times (1 + 0.25) = 5350 \times 1.25 = 6687.50
$$

Total pago na compra a prazo:
$$
P_{\text{a prazo}} = 4000 + 4000 = 8000
$$

Comparando o valor futuro da diferença com o total pago na compra a prazo:
$$
6687.50 + 4000 = 10687.50
$$

Como $ 10687.50 > 9350 $, é mais vantajoso pagar à vista.

**Resposta: Não, não será vantajosa a compra a prazo.**

**b) Qual é o valor de $ x $ que torna indiferente comprar à vista ou a prazo? Explique.**

Para encontrar o valor de $ x $ que torna indiferente comprar à vista ou a prazo, precisamos igualar o custo total das duas opções.

Seja $ P_{\text{à vista}} $ o preço à vista com desconto $ x \% $:
$$
P_{\text{à vista}} = 11000 \times (1 - \frac{x}{100})
$$

Diferença entre o preço à vista e a primeira parcela:
$$
D = P_{\text{à vista}} - 4000 = 11000 \times (1 - \frac{x}{100}) - 4000
$$

Valor futuro dessa diferença após um mês com uma taxa de 25%:
$$
V_F = D \times 1.25 = [11000 \times (1 - \frac{x}{100}) - 4000] \times 1.25
$$

O comprador será indiferente se o valor futuro da diferença mais a primeira parcela for igual ao preço à vista:
$$
V_F + 4000 = P_{\text{à vista}}
$$

Substituindo:
$$
[11000 \times (1 - \frac{x}{100}) - 4000] \times 1.25 + 4000 = 11000 \times (1 - \frac{x}{100})
$$

Simplificando:
$$
1.25 \times 11000 \times (1 - \frac{x}{100}) - 1.25 \times 4000 + 4000 = 11000 \times (1 - \frac{x}{100})
$$

$$
13750 - 137.5x - 5000 + 4000 = 11000 - 110x
$$

$$
8750 - 137.5x = 11000 - 110x
$$

Isolando $ x $:
$$
8750 - 11000 = 137.5x - 110x
$$

$$
-2250 = 27.5x
$$

$$
x = \frac{-2250}{27.5} \approx -81.82
$$

Como $ x $ negativo não faz sentido no contexto do problema, isso indica que não existe um valor de $ x $ que torne as duas opções indiferentes dentro do intervalo válido (0% a 100%). Portanto, sempre será mais vantajoso pagar à vista se a taxa de aplicação for de 25% ao mês.

10. (fGV-SP) Uma mercadoria, cujo preço de tabela de Il , se...

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