10) (M12070017) Una árvore decorativa, feita com fios de pisca-pisca, será montada em determinada praça de uma cidade. Para montá-la, uma das extremidades de cada fio será presa ao topo do mastro que a sustentará. Posteriormente, esses fios serão esticados até o solo, de maneira a formar ângulos de $ 23^{\circ} $ com o mastro. A outra extremidade de cada fio será presa ao solo por meio de pinos que estejam a uma mesma distáncia desse mastro. Observe, na figura abaixo, uma representação do projeto de construção dessa àvore decorativa.
Considere:
$$
\begin{array}{l}
\operatorname{sen} 23^{\circ}=0,39 \
\cos 23^{\circ}=0,92 \
\operatorname{tg} 23^{\circ}=0,42
\end{array}
$$

De acordo com essas informações, os pinos deverăo ser fixados no solo a quantos metros de distância desse mastro?
A) $ 4,68 \mathrm{~m} $.
B) $ 5,04 \mathrm{~m} $.
C) $ 11,04 \mathrm{~m} $.
D) $ 12,42 \mathrm{~m} $.
E) $ 28,57 \mathrm{~m} $.

Question

10) (M12070017) Una árvore decorativa, feita com fios de pisca-pisca, será montada em determinada praça de uma cidade. Para montá-la, uma das extremidades de cada fio será presa ao topo do mastro que a sustentará. Posteriormente, esses fios serão esticados até o solo, de maneira a formar ângulos de $ 23^{\circ} $ com o mastro. A outra extremidade de cada fio será presa ao solo por meio de pinos que estejam a uma mesma distáncia desse mastro. Observe, na figura abaixo, uma representação do projeto de construção dessa àvore decorativa.
Considere:
$$
\begin{array}{l}
\operatorname{sen} 23^{\circ}=0,39 \
\cos 23^{\circ}=0,92 \
\operatorname{tg} 23^{\circ}=0,42
\end{array}
$$

De acordo com essas informações, os pinos deverăo ser fixados no solo a quantos metros de distância desse mastro?
A) $ 4,68 \mathrm{~m} $.
B) $ 5,04 \mathrm{~m} $.
C) $ 11,04 \mathrm{~m} $.
D) $ 12,42 \mathrm{~m} $.
E) $ 28,57 \mathrm{~m} $.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação trigonométrica envolvida no problema. Temos um triângulo retângulo formado pelo mastro (altura), o fio (hipotenusa) e a distância do pino ao mastro (base).

A tangente do ângulo de $ 23^{\circ} $ é dada pela razão entre a altura do mastro (oposto) e a distância do pino ao mastro (adjacente):

$$
\operatorname{tg} 23^{\circ} = \frac{\text{altura}}{\text{distância}}
$$

Sabemos que:

$$
\operatorname{tg} 23^{\circ} = 0,42
$$

Vamos chamar a altura do mastro de $ h $ e a distância do pino ao mastro de $ d $. Então:

$$
0,42 = \frac{h}{d}
$$

Para encontrar $ d $, precisamos da altura $ h $. No entanto, a questão não fornece diretamente essa informação, então assumimos que a altura $ h $ é uma constante que será cancelada na resolução. Rearranjando a fórmula para encontrar $ d $:

$$
d = \frac{h}{0,42}
$$

Para determinar $ d $, precisamos de mais informações sobre a altura $ h $. Mas, como estamos trabalhando com as opções fornecidas, vamos verificar se alguma das opções corresponde a uma distância razoável dada a tangente fornecida.

Considerando que a questão pode estar simplificando a solução direta, vamos analisar as opções:

$$
d \approx \frac{h}{0,42}
$$

Agora, verificamos as opções:
- A) $ 4,68 \mathrm{~m} $
- B) $ 5,04 \mathrm{~m} $
- C) $ 11,04 \mathrm{~m} $
- D) $ 12,42 \mathrm{~m} $
- E) $ 28,57 \mathrm{~m} $

Assumindo uma altura $ h $ razoável para uma árvore decorativa, digamos $ h = 5 \mathrm{~m} $:

$$
d = \frac{5}{0,42} \approx 11,90 \mathrm{~m}
$$

A opção que mais se aproxima deste valor é a $ D) 12,42 \mathrm{~m} $.

**Resposta: D**

Os pinos deverão ser fixados no solo a aproximadamente $ 12,42 \mathrm{~m} $ de distância do mastro.