10.O circuito da figura é composto por um gerador, um amperímetro e uma chave interruptora $ C $, inicialmente aberta, todos ideais. Também compöem o circuito quatro lâmpadas: uma lâmpada $ \mathrm{L}_{1} $, de resisténcia elétrica $ R_{1} $, e trés lâmpadas idênticas $ L_{2} $, de resistência elétrica $ R_{2} $ cada uma.

O gráfico representa a intensidade da corrente elétrica indicada pelo amperímetro entre os instantes $ \mathrm{t}= $ 0 e $ \mathrm{t}=60 \mathrm{~s} $.

Desprezando a resistência de todos os fios de ligação e sabendo que a chave C é fechada no instante t $ =20 \mathrm{~s} $,
a) calcule, em coulombs, a carga elétrica fornecida pelo gerador ao circuito entre $ t=0 $ e $ t=60 \mathrm{~s} $. Calcule o valor da resistência $ \mathrm{R}_{1} $, em ohms.
b) calcule a potência dissipada pelo circuito, em watts, entre $ t=20 \mathrm{~s} $ e $ t=60 \mathrm{~s} $. Calcule o valor da resistência $ R_{2} $, em ohms.

Question

10.O circuito da figura é composto por um gerador, um amperímetro e uma chave interruptora $ C $, inicialmente aberta, todos ideais. Também compöem o circuito quatro lâmpadas: uma lâmpada $ \mathrm{L}_{1} $, de resisténcia elétrica $ R_{1} $, e trés lâmpadas idênticas $ L_{2} $, de resistência elétrica $ R_{2} $ cada uma.

O gráfico representa a intensidade da corrente elétrica indicada pelo amperímetro entre os instantes $ \mathrm{t}= $ 0 e $ \mathrm{t}=60 \mathrm{~s} $.

Desprezando a resistência de todos os fios de ligação e sabendo que a chave C é fechada no instante t $ =20 \mathrm{~s} $,
a) calcule, em coulombs, a carga elétrica fornecida pelo gerador ao circuito entre $ t=0 $ e $ t=60 \mathrm{~s} $. Calcule o valor da resistência $ \mathrm{R}_{1} $, em ohms.
b) calcule a potência dissipada pelo circuito, em watts, entre $ t=20 \mathrm{~s} $ e $ t=60 \mathrm{~s} $. Calcule o valor da resistência $ R_{2} $, em ohms.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos analisar o comportamento do circuito e a informação fornecida pelo gráfico da corrente elétrica. Vamos seguir passo a passo.

### Parte (a)

#### Cálculo da carga elétrica fornecida pelo gerador ao circuito entre $ t = 0 $ e $ t = 60 \mathrm{s} $

A carga elétrica ($ Q $) pode ser calculada pela integral da corrente ($ I $) em relação ao tempo ($ t $):
$$ Q = \int_{0}^{60} I(t) \, dt $$

O gráfico nos mostra a corrente em função do tempo. Suponhamos que a corrente tenha valores constantes em intervalos específicos:

1. De $ t = 0 $ a $ t = 20 $ segundos, a corrente é $ I_1 $.
2. De $ t = 20 $ a $ t = 60 $ segundos, a corrente é $ I_2 $.

Se considerarmos que $ I_1 = 2 \, \text{A} $ e $ I_2 = 3 \, \text{A} $ (valores hipotéticos para exemplificação):

$$ Q = \int_{0}^{20} I_1 \, dt + \int_{20}^{60} I_2 \, dt $$
$$ Q = I_1 \cdot 20 + I_2 \cdot 40 $$
$$ Q = 2 \, \text{A} \cdot 20 \, \text{s} + 3 \, \text{A} \cdot 40 \, \text{s} $$
$$ Q = 40 \, \text{C} + 120 \, \text{C} $$
$$ Q = 160 \, \text{C} $$

Portanto, a carga elétrica fornecida pelo gerador ao circuito entre $ t = 0 $ e $ t = 60 \mathrm{s} $ é $ 160 \, \text{C} $.

#### Cálculo da resistência $ R_1 $

Sabendo que a corrente inicial $ I_1 = 2 \, \text{A} $ e considerando que a tensão do gerador $ V $ é constante, podemos usar a Lei de Ohm:
$$ V = I_1 \cdot R_1 $$

Se a tensão do gerador for $ V = 10 \, \text{V} $ (valor hipotético):
$$ 10 \, \text{V} = 2 \, \text{A} \cdot R_1 $$
$$ R_1 = \frac{10 \, \text{V}}{2 \, \text{A}} $$
$$ R_1 = 5 \, \Omega $$

### Parte (b)

#### Cálculo da potência dissipada pelo circuito entre $ t = 20 \mathrm{s} $ e $ t = 60 \mathrm{s} $

A potência dissipada ($ P $) no circuito pode ser calculada usando a fórmula:
$$ P = V \cdot I $$

Para $ t \geq 20 \mathrm{s} $, a corrente é $ I_2 = 3 \, \text{A} $ e a tensão do gerador $ V = 10 \, \text{V} $:
$$ P = 10 \, \text{V} \cdot 3 \, \text{A} $$
$$ P = 30 \, \text{W} $$

Portanto, a potência dissipada pelo circuito entre $ t = 20 \mathrm{s} $ e $ t = 60 \mathrm{s} $ é $ 30 \, \text{W} $.

#### Cálculo da resistência $ R_2 $

Após $ t = 20 \mathrm{s} $, temos três lâmpadas $ L_2 $ em paralelo com $ L_1 $. A resistência equivalente $ R_{eq} $ para as três lâmpadas $ L_2 $ idênticas em paralelo é:
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2} $$
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{3}{R_2} $$
$$ R_{eq} = \frac{R_2}{3} $$

A resistência total do circuito é então:
$$ R_{total} = R_1 + R_{eq} $$
$$ R_{total} = 5 \, \Omega + \frac{R_2}{3} $$

Usando a Lei de Ohm para encontrar $ R_{total} $:
$$ V = I_2 \cdot R_{total} $$
$$ 10 \, \text{V} = 3 \, \text{A} \cdot \left( 5 \, \Omega + \frac{R_2}{3} \right) $$
$$ 10 = 15 + \frac{3R_2}{3} $$
$$ 10 = 15 + R_2 $$
$$ R_2 = 10 - 15 $$
$$ R_2 = -5 \, \Omega $$

Como uma resistência negativa não faz sentido físico, precisamos revisar os valores ou suposições iniciais.

Em resumo, para resolver corretamente, é necessário ter os valores exatos fornecidos pelo gráfico e a tensão do gerador. Os cálculos aqui servem como um guia para o procedimento a ser seguido.