10) O gráfico seguinte representa a função f: R - R definida f(x) = a + b.cos(mx + n), sendo a, b, m e n constantes reais. Obtenha os valores dessas constantes.

Q: 10) O gráfico seguinte representa a função f: R -> R definida f(x) = a + b.cos(mx + n), sendo a, b, m e n constantes reais. Obtenha os valores dessas constantes.

Para determinar os valores das constantes $a$, $b$, $m$ e $n$ na função $f(x) = a + b \cdot \cos(mx + n)$, vamos analisar o gráfico: 1. **Amplitude e Valor Médio:** - A amplitude é a metade da diferença entre o valor máximo e mínimo. No gráfico, o valor máximo é 2 e o mínimo é 0. - Amplitude ($b$) = $\frac{2 - 0}{2} = 1$. - O valor médio ($a$) é a média dos valores máximo e mínimo: $\frac{2 + 0}{2} = 1$. 2. **Período:** - O período é o intervalo necessário para que a função complete um ciclo. Observando o gráfico, o período é de $\frac{8\pi}{8} = \pi$. - O período de $\cos(mx)$ é dado por $\frac{2\pi}{m}$. Assim, temos $\frac{2\pi}{m} = \pi$, o que implica $m = 2$. 3. **Fase ($n$):** - O gráfico mostra que o cosseno atinge o máximo em $x = 0$. Para $\cos(mx + n)$, isso ocorre quando $mx + n = 0$. - Como $m = 2$, temos $2 \cdot 0 + n = 0$, portanto $n = 0$. Com essas informações, a função é: \[ f(x) = 1 + 1 \cdot \cos(2x) \] O conjunto imagem de $f$ é o intervalo dos valores que $f(x)$ pode assumir. Como a amplitude é 1 e o valor médio é 1, o conjunto imagem é: \[ [0, 2] \]

Question

10) O gráfico seguinte representa a função f: R -> R definida f(x) = a + b.cos(mx + n), sendo a, b, m e n constantes reais. Obtenha os valores dessas constantes.

Accepted Answer

Para determinar os valores das constantes $a$, $b$, $m$ e $n$ na função $f(x) = a + b \cdot \cos(mx + n)$, vamos analisar o gráfico:

1. **Amplitude e Valor Médio:**
   - A amplitude é a metade da diferença entre o valor máximo e mínimo. No gráfico, o valor máximo é 2 e o mínimo é 0.
   - Amplitude ($b$) = $\frac{2 - 0}{2} = 1$.
   - O valor médio ($a$) é a média dos valores máximo e mínimo: $\frac{2 + 0}{2} = 1$.

2. **Período:**
   - O período é o intervalo necessário para que a função complete um ciclo. Observando o gráfico, o período é de $\frac{8\pi}{8} = \pi$.
   - O período de $\cos(mx)$ é dado por $\frac{2\pi}{m}$. Assim, temos $\frac{2\pi}{m} = \pi$, o que implica $m = 2$.

3. **Fase ($n$):**
   - O gráfico mostra que o cosseno atinge o máximo em $x = 0$. Para $\cos(mx + n)$, isso ocorre quando $mx + n = 0$.
   - Como $m = 2$, temos $2 \cdot 0 + n = 0$, portanto $n = 0$.

Com essas informações, a função é:

$$ f(x) = 1 + 1 \cdot \cos(2x) $$

O conjunto imagem de $f$ é o intervalo dos valores que $f(x)$ pode assumir. Como a amplitude é 1 e o valor médio é 1, o conjunto imagem é:

$$ [0, 2] $$

10) O gráfico seguinte representa a função f: R -> R definid...

O gráfico seguinte representa a função f: R -> R definida f(x) = a + b.cos(mx + n), sendo a, b, m e n constantes reais. Obtenha os valores dessas constantes.

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