10) (PUC-RJ) O valor de $ x $ para que os pontos $ (1,3),(-2,4) $, e $ (x, 0) $ do plano sejam colineares é:
a) 8 .
b) 9 .
c) 11 .
d) 10 .
e) 5 .
11) (PUC-RJ) Os pontos $ (0,8),(3,1) $ e $ (1, y) $ do plano são colineares. O valor de y é igual a:
a) 5 .
b) 6 .
c) $ 17 / 3 $.
d) $ 11 / 2 $.
e) 5,3 .
12) (PUC-RJ) Sejam A e B os pontos $ (1,1) $ e $ (5,7) $ no plano. O ponto médio do segmento $ A B $ é:
a) $ (3,4) $.
b) $ (4,6) $.
c) $ (-4,-6) $.
d) $ (1,7) $.
e) $ (2,3) $.
13) (PUC-RJ) Seja $ d(P, Q) $ a distância entre os pontos $ P $ e $ Q $. Considere $ A=(-1,0) $ e $ B=(1,0) $ pontos do plano. O número de pontos $ X=(x, y) $ tais que $ d(X, B)=1 / 2 d(X, A)=1 / 2 d(A, B) $ é igual a:
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .
14) (PUC - CAMP) Sabe-se que os pontos $ A=(0 ; 0), B=(1 ; 4) $ e $ C=(3 ; 6) $ são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da diagonal $ \overline{B D} $ é:
a) $ \sqrt{2} $.
b) $ \sqrt{3} $.
c) $ 2 \sqrt{2} $.
d) $ \sqrt{5} $.
e) 5 .
15) (UFMG) Na figura a seguir, está representado um quadrado de vértices $ A B C D $ :

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão uma por uma.

**Questão 10:**
Para que os pontos $ (1,3), (-2,4) $ e $ (x,0) $ sejam colineares, a área do triângulo formado por esses pontos deve ser zero. A fórmula da área de um triângulo com vértices $ (x_1, y_1), (x_2, y_2) $ e $ (x_3, y_3) $ é:

$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$

Substituindo os pontos dados:

$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - 0) + (-2)(0 - 3) + x(3 - 4) \right| = 0
$$

$$
\frac{1}{2} \left| 4 + 6 - x \right| = 0
$$

$$
\left| 10 - x \right| = 0
$$

$$
10 - x = 0 \implies x = 10
$$

**Resposta: d)**

**Questão 11:**
Os pontos $ (0,8), (3,1) $ e $ (1,y) $ são colineares. Usamos a mesma fórmula da área do triângulo igual a zero:

$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(1 - y) + 3(y - 8) + 1(8 - 1) \right| = 0
$$

$$
\frac{1}{2} \left| 3y - 24 + 7 \right| = 0
$$

$$
\left| 3y - 17 \right| = 0
$$

$$
3y - 17 = 0 \implies y = \frac{17}{3}
$$

**Resposta: c)**

**Questão 12:**
O ponto médio $ M $ do segmento $ AB $ é dado por:

$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$

Substituindo os pontos $ A = (1,1) $ e $ B = (5,7) $:

$$
M = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (3,4)
$$

**Resposta: a)**

**Questão 13:**
Temos que $ d(X, B) = \frac{1}{2} d(X, A) = \frac{1}{2} d(A, B) $. Primeiro, calculamos $ d(A, B) $:

$$
d(A, B) = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2
$$

Então:

$$
d(X, B) = \frac{1}{2} \times 2 = 1
$$

A equação da circunferência centrada em $ B $ com raio 1 é:

$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1
$$

E:

$$
d(X, A) = 2
$$

A equação da circunferência centrada em $ A $ com raio 2 é:

$$
(x + 1)^2 + y^2 = 4
$$

Devemos encontrar a interseção dessas duas circunferências. Resolva o sistema de equações:

$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1
$$
$$
(x + 1)^2 + y^2 = 4
$$

Subtraindo as equações:

$$
(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4 - 1
$$
$$
(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 3
$$
$$
4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}
$$

Substitua $ x = \frac{3}{4} $ na primeira equação para encontrar $ y $:

$$
\left( \frac{3}{4} - 1 \right)^2 + y^2 = 1
$$
$$
\left( -\frac{1}{4} \right)^2 + y^2 = 1
$$
$$
\frac{1}{16} + y^2 = 1
$$
$$
y^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$
$$
y = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
$$

Portanto, temos dois pontos $ \left( \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4} \right) $ e $ \left( \frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4} \right) $.

**Resposta: c)**

**Questão 14:**
Os pontos $ A = (0,0), B = (1,4) $ e $ C = (3,6) $ são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Para encontrar o ponto $ D $, usamos a propriedade dos vetores:

$$
\overrightarrow{AB} = (1-0, 4-0) = (1,4)
$$
$$
\overrightarrow{BC} = (3-1, 6-4) = (2,2)
$$

O vetor $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (1,4) + (2,2) = (3,6)$.

O ponto $ D $ é então $ (3,6) $.

Para calcular a diagonal $ \overline{BD} $:

$$
d(B, D) = \sqrt{(3-1)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

**Resposta: c)**

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