10) (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB.
b) Calcule a área da região hachurada.
c) Calcule a área do triângulo ABC.

Question

10) (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB.
b) Calcule a área da região hachurada.
c) Calcule a área do triângulo ABC.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos considerar as propriedades do triângulo equilátero e do círculo em que ele está inscrito.

a) **Calcule o ângulo $ \angle AOB $:**

O triângulo $ ABC $ é equilátero, então todos os seus ângulos internos são $ 60^\circ $. Como o triângulo está inscrito em um círculo, o ângulo central $ \angle AOB $ que subtende o arco $ AB $ é o dobro do ângulo interno correspondente no triângulo. Assim, $ \angle AOB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ $.

b) **Calcule a área da região hachurada:**

A região hachurada é um setor circular menos a área do triângulo $ AOB $.

- A área do setor circular $ AOB $ é dada por:

$$
\text{Área do setor} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 1^2 = \frac{1}{3} \pi
$$

- A área do triângulo $ AOB $ é dada por:

$$
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin(\theta) = \frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4}
$$

Assim, a área da região hachurada é:

$$
\text{Área hachurada} = \frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{4}
$$

c) **Calcule a área do triângulo $ ABC $:**

A área de um triângulo equilátero com lado $ s $ é dada por:

$$
\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2
$$

Como o triângulo está inscrito em um círculo de raio 1, o lado $ s $ do triângulo equilátero é igual ao diâmetro do círculo vezes $ \frac{\sqrt{3}}{2} $, ou seja, $ s = \sqrt{3} $.

Portanto, a área do triângulo $ ABC $ é:

$$
\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}
$$

10) (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscri...

(Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB. b) Calcule a área da região hachurada. c) Calcule a área do triângulo ABC.

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10) (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscri...

(Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo. a) Calcule o ângulo AOB. b) Calcule a área da região hachurada. c) Calcule a área do triângulo ABC.

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(Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na figura abaixo.

a) Calcule o ângulo AOB. b) Calcule a área da região hachurada. c) Calcule a área do triângulo ABC.