10. Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos formam o lado desse triângulo?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos primeiro entender o padrão pelo qual os triângulos são construídos com palitos de fósforo. Considerando que cada triângulo é equilátero (todos os lados iguais), podemos observar que o número de palitos usados em cada lado do triângulo aumenta de maneira uniforme à medida que avançamos na sequência.

Para um triângulo equilátero formado por palitos de fósforo:

- O primeiro triângulo tem 3 lados, e cada lado é formado por 1 palito, totalizando 3 palitos.
- No segundo triângulo, cada lado é formado por 2 palitos, totalizando 3 lados x 2 palitos = 6 palitos. No entanto, para formar um triângulo maior usando triângulos menores, precisamos considerar que os palitos nas bordas internas são compartilhados. Assim, o padrão não segue simplesmente a multiplicação do número de palitos por lado pelo número de lados.

O número total de palitos ($N$) necessários para construir um triângulo pode ser expresso em função do número de palitos ($n$) que formam um lado do triângulo. Para um triângulo equilátero feito dessa forma, o padrão geralmente segue a fórmula:
$$N = \frac{n(n + 1)}{2} \times 3 - (n - 1) \times 3$$
onde $n$ é o número de palitos em um lado do triângulo, $\frac{n(n + 1)}{2}$ calcula o total de palitos para uma disposição triangular completa sem excluir os palitos duplicados nas bordas internas, e $(n - 1) \times 3$ subtrai os palitos duplicados (exceto nas bordas externas do grande triângulo).

No entanto, essa fórmula precisa ser ajustada, pois a contagem de palitos compartilhados foi superestimada. A fórmula correta para a quantidade total de palitos em um triângulo equilátero formado dessa maneira, onde cada incremento no número de palitos por lado aumenta o total de palitos de forma quadrática, é mais simples e direta, refletindo a natureza da construção dos triângulos com palitos:

$$N = \frac{n(n + 1)}{2} \times 3$$

Mas essa fórmula também não se aplica diretamente ao padrão descrito, porque cada triângulo subsequente na sequência não é simplesmente formado pela adição de uma linha de palitos ao redor do triângulo anterior.

A formula correta para determinar o número total de palitos ($N$) em um triângulo baseado no padrão descrito (considerando a correção para o entendimento do padrão de crescimento) é baseada na observação de como os triângulos crescem. Para um triângulo equilátero formado por este método, o padrão de crescimento é tipicamente quadrático, relacionado ao quadrado do termo da sequência, devido ao aumento do número de palitos necessários tanto para expandir os lados quanto para preencher o interior.

Dado que o problema menciona um triângulo construído com 135 palitos, e sem uma fórmula específica fornecida ou derivável diretamente do enunciado (devido à falta de detalhes específicos sobre o padrão de construção), vamos abordar o problema de uma maneira mais intuitiva e alinhada com padrões comuns em problemas de sequência de figuras.

Se um triângulo foi construído com 135 palitos, e estamos procurando o número de palitos que formam o lado desse triângulo, precisamos entender o padrão específico. Sem a imagem ou uma descrição detalhada do padrão, uma abordagem comum é considerar a relação entre o número total de palitos e o tamanho do lado do triângulo em padrões conhecidos.

Um padrão comum é que o número total de palitos é proporcional ao quadrado do número de palitos no lado do triângulo, especialmente em arranjos onde os triângulos menores formam um maior de maneira simétrica.

Contudo, sem a capacidade de visualizar a figura mencionada e sem uma fórmula exata fornecida para este caso específico, a solução exata requereria mais informação sobre o padrão de construção dos triângulos.

Dado isso, a resposta correta geralmente envolveria calcular o número de palitos por lado com base na informação dada (135 palitos no total), mas sem a fórmula específica ou o padrão exato, não podemos aplicar uma solução matemática direta aqui.

Se você tiver mais informações sobre como os triângulos são construídos ou se o padrão segue uma regra específica (como adicionar uma certa quantidade de palitos por triângulo maior), por favor, forneça esses detalhes para uma resposta mais precisa.

10. Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos formam o lado desse triângulo? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10