11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim_{x-a} f(x) existe: 1. f(x) = { 1 + x se -1

Question

11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim_{x->a} f(x) existe:

f(x) = {
1 + x se -1 < x < 1
x^2 se -1 <= x <= 1
2 - x se x > 1
}
f(x) = {
1 + sen x se 0 <= x < pi
cos x se 0 <= x <= pi
sen x se pi < x <= 2pi
}

Accepted Answer

Para determinar os valores de $ a $ para os quais o limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, vamos analisar cada função separadamente. ### 11. Função $ f(x) $ A função é definida por partes: - $ f(x) = 1 + x $ se $ x < -1 $ - $ f(x) = x^2 $ se $ -1 \leq x < 1 $ - $ f(x) = 2 - x $ se $ x \geq 1 $ **Análise dos limites:** - Para $ a < -1 $, $ f(x) = 1 + x $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. - Para $ a = -1 $, precisamos verificar: - Limite à esquerda: $\lim_{x \to -1^-} (1 + x) = 0$ - Limite à direita: $\lim_{x \to -1^+} (x^2) = 1$ - Os limites não são iguais, então o limite não existe em $ a = -1 $. - Para $ -1 < a < 1 $, $ f(x) = x^2 $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. - Para $ a = 1 $, precisamos verificar: - Limite à esquerda: $\lim_{x \to 1^-} (x^2) = 1$ - Limite à direita: $\lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 1$ - Os limites são iguais, então o limite existe em $ a = 1 $. - Para $ a > 1 $, $ f(x) = 2 - x $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. **Conclusão:** O limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe para $ a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1] \cup (1, \infty) $. ### 12. Função $ f(x) $ A função é definida por partes: - $ f(x) = 1 + \sin x $ se $ x < 0 $ - $ f(x) = \cos x $ se $ 0 \leq x < \pi $ - $ f(x) = \sin x $ se $ x \geq \pi $ **Análise dos limites:** - Para $ a < 0 $, $ f(x) = 1 + \sin x $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. - Para $ a = 0 $, precisamos verificar: - Limite à esquerda: $\lim_{x \to 0^-} (1 + \sin x) = 1$ - Limite à direita: $\lim_{x \to 0^+} (\cos x) = 1$ - Os limites são iguais, então o limite existe em $ a = 0 $. - Para $ 0 < a < \pi $, $ f(x) = \cos x $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. - Para $ a = \pi $, precisamos verificar: - Limite à esquerda: $\lim_{x \to \pi^-} (\cos x) = -1$ - Limite à direita: $\lim_{x \to \pi^+} (\sin x) = 0$ - Os limites não são iguais, então o limite não existe em $ a = \pi $. - Para $ a > \pi $, $ f(x) = \sin x $. O limite existe e é contínuo nesse intervalo. **Conclusão:** O limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe para $ a \in (-\infty, 0] \cup (0, \pi) \cup (\pi, \infty) $.

11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os ...

11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim_{x->a} f(x) existe:

f(x) = {
1 + x se -1 < x < 1
x^2 se -1 <= x <= 1
2 - x se x > 1
}

f(x) = {
1 + sen x se 0 <= x < pi
cos x se 0 <= x <= pi
sen x se pi < x <= 2pi
}

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11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os ...

11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim_{x->a} f(x) existe: f(x) = { 1 + x se -1 < x < 1 x^2 se -1 <= x <= 1 2 - x se x > 1 } f(x) = { 1 + sen x se 0 <= x < pi cos x se 0 <= x <= pi sen x se pi < x <= 2pi }

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11-12 Esboce o grafico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim_{x->a} f(x) existe:

f(x) = {
1 + x se -1 < x < 1
x^2 se -1 <= x <= 1
2 - x se x > 1
}

f(x) = {
1 + sen x se 0 <= x < pi
cos x se 0 <= x <= pi
sen x se pi < x <= 2pi
}