11. A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo obtuso mede 150°. Considere sen 30° = 0,5.

12. Uma pessoa, ao observar um edifício sob um ângulo de 45°, conseguiu identificar o 20º andar do edifício. Sabendo que essa pessoa estava a 60 m do edifício e que todos os andares têm a mesma altura, calcule a altura de cada andar. Considere sen 45° = cos 45°.

13. Uma pessoa, distante 10 m de um prédio, observa seu topo sob ângulo de 58°. Ao afastar-se desse prédio, ainda observa o topo, porém, agora sob um ângulo de 22°. Calcule a altura do prédio e a distância entre os pontos de observação. Dados: tg 22° = 0,4 e tg 58° = 1,6.

Question

11. A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior mede o dobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo que seu ângulo obtuso mede 150°. Considere sen 30° = 0,5.

12. Uma pessoa, ao observar um edifício sob um ângulo de 45°, conseguiu identificar o 20º andar do edifício. Sabendo que essa pessoa estava a 60 m do edifício e que todos os andares têm a mesma altura, calcule a altura de cada andar. Considere sen 45° = cos 45°.

13. Uma pessoa, distante 10 m de um prédio, observa seu topo sob ângulo de 58°. Ao afastar-se desse prédio, ainda observa o topo, porém, agora sob um ângulo de 22°. Calcule a altura do prédio e a distância entre os pontos de observação. Dados: tg 22° = 0,4 e tg 58° = 1,6.

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver cada uma das questões:

**11.**

Temos um trapézio retângulo onde a soma das bases é 30 m. A base maior é o dobro da menor. Vamos chamar a base menor de $ x $ e a base maior de $ 2x $. Assim, temos:

$$ x + 2x = 30 $$
$$ 3x = 30 $$
$$ x = 10 $$

Portanto, as bases são 10 m e 20 m.

Para calcular a altura do trapézio, usaremos a tangente do ângulo de 150°, que é a diferença entre as bases dividido pela altura:

$$ \tan(150^\circ) = \frac{\text{diferença das bases}}{\text{altura}} $$

Sabendo que $\tan(150^\circ) = -\tan(30^\circ) = -0,5$:

$$ -0,5 = \frac{20 - 10}{h} $$
$$ -0,5 = \frac{10}{h} $$
$$ h = -\frac{10}{-0,5} = 20 $$

A altura do trapézio é 20 m.

**12.**

Uma pessoa observa um edifício a partir de um ângulo de 45° e identifica o 20º andar. Como todos os andares têm a mesma altura, podemos usar a tangente para encontrar a altura de cada andar.

A tangente de 45° é 1, então:

$$ \tan(45^\circ) = \frac{\text{altura total do prédio}}{\text{distância ao prédio}} $$

Seja $ h $ a altura de cada andar. Então a altura total é $ 20h $.

$$ 1 = \frac{20h}{\text{distância}} $$

Como a distância não foi fornecida, assumimos que a altura total do prédio é igual à distância (devido à tangente de 45° ser 1):

$$ 20h = \text{distância} $$

A altura de cada andar é a distância dividida por 20.

**13.**

Um observador está a 10 m de um prédio e vê o topo sob um ângulo de 58°. Ao se afastar, ele vê o topo sob um ângulo de 22°. Queremos calcular a altura do prédio e a distância entre os pontos de observação.

Para o primeiro ponto de observação ($\theta_1 = 58^\circ$):

$$ \tan(58^\circ) = \frac{h}{10} $$
$$ 1,6 = \frac{h}{10} $$
$$ h = 16 $$

Para o segundo ponto de observação ($\theta_2 = 22^\circ$):

$$ \tan(22^\circ) = \frac{h}{d} $$
$$ 0,4 = \frac{16}{d} $$
$$ d = \frac{16}{0,4} = 40 $$

A distância entre os pontos de observação é $ 40 - 10 = 30 $ m.

Portanto, a altura do prédio é 16 m e a distância entre os pontos de observação é 30 m.

11. A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângu...

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