11. Da mesma forma que podemos encontrar o volume do tronco de pirâmide por meio de uma fórmula, é possível obter o volume do tronco de cone. As fórmulas são idênticas:
V = h / 3 • (AB + Ab + √(AB • Ab))

Como as áreas das bases dos troncos de cones são circulares, é possível reduzir essa fórmula. Demonstre que a fórmula acima é equivalente à fórmula a seguir.

V_tronco = h / 3 • (πR² + πr² + πRr)

Nessa fórmula, temos:
h: altura do tronco
R: medida do raio da base maior
r: medida do raio da base menor

Question

11. Da mesma forma que podemos encontrar o volume do tronco de pirâmide por meio de uma fórmula, é possível obter o volume do tronco de cone. As fórmulas são idênticas:
V = h / 3 • (AB + Ab + √(AB • Ab))

Como as áreas das bases dos troncos de cones são circulares, é possível reduzir essa fórmula. Demonstre que a fórmula acima é equivalente à fórmula a seguir.

V_tronco = h / 3 • (πR² + πr² + πRr)

Nessa fórmula, temos:
h: altura do tronco
R: medida do raio da base maior
r: medida do raio da base menor

Accepted Answer

Para demonstrar que as duas fórmulas são equivalentes, vamos analisar cada parte delas.

1. **Fórmula geral para o volume do tronco de pirâmide:**

$$
V = \frac{h}{3} \cdot \left( A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b} \right)
$$

2. **Fórmula específica para o tronco de cone:**

$$
V_{\text{tronco}} = \frac{h}{3} \cdot \left( \pi R^2 + \pi r^2 + \pi Rr \right)
$$

### Conversão das áreas das bases

Para um tronco de cone, as áreas das bases são circulares:

- $ A_B = \pi R^2 $ (área da base maior)
- $ A_b = \pi r^2 $ (área da base menor)

Substituindo essas áreas na fórmula geral:

$$
V = \frac{h}{3} \cdot \left( \pi R^2 + \pi r^2 + \sqrt{\pi R^2 \cdot \pi r^2} \right)
$$

Simplificando a raiz:

$$
\sqrt{\pi R^2 \cdot \pi r^2} = \sqrt{\pi^2 R^2 r^2} = \pi Rr
$$

Substituindo na expressão:

$$
V = \frac{h}{3} \cdot \left( \pi R^2 + \pi r^2 + \pi Rr \right)
$$

Assim, a fórmula geral se transforma na fórmula específica para o tronco de cone, mostrando que elas são equivalentes.

11. Da mesma forma que podemos encontrar o volume do tronco ...

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